Задание на исследование 14 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

14. На окружности отметили $$n$$ точек, каждую соединили хордой хотя бы с одной из других отмеченных точек. Оказалось, что из первой точки выходит одна хорда, из второй — две, …, из $$(n-1)$$-й точки выходит $$n-1$$ хорд. Сколько хорд выходит из $$n$$-й точки? Решите задачу для: а) $$n=5$$; б) нечётных $$n\geqslant3$$.

а) При $$n=5$$ на окружности отмечены 5 точек. Соединим каждую точку со всеми остальными, не считая её самой.

Тогда из 1-й точки выходит 1 хорда, из 2-й — 2 хорды, из 3-й — 3 хорды, из 4-й — 2 хорды, из 5-й — 2 хорды.

Для точки, которая находится посередине, число хорд равно $$\frac{5-1}{2}=2.$$

б) Для нечётного $$n \ge 3$$ каждая точка соединяется с половиной остальных точек, то есть с

$$\frac{n-1}{2}$$

точками.

Значит, из каждой точки выходит $$\frac{n-1}{2}$$ хорд.

Ответ

а) Из 5-й точки выходят 2 хорды.
б) Из каждой точки выходит $$\frac{n-1}{2}$$ хорды.