Задание на исследование 13 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. 13. Отличное от нуля число увеличили на $$p\%$$, полученный результат уменьшили на $$q\%$$. В результате снова получили первое число. Найдите все пары натуральных чисел $$(p; q)$$, удовлетворяющие условию задачи.

Пусть данное число равно $$a$$. Тогда по условию

$$a\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{q}{100}\right)=a.$$

Так как $$a \neq 0$$, получаем

$$\left(1+\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{q}{100}\right)=1.$$

Умножим на $$10000$$:

$$\left(100+p\right)\left(100-q\right)=10000.$$

Так как $$p>0$$, $$q>0$$, то

$$100+p>100-q,$$

$$100-q>0.$$

Значит, нужно представить число $$10000$$ в виде произведения двух множителей всеми возможными способами так, чтобы первый множитель был больше второго. Получаем пары:

$$10000=10000\cdot 1=5000\cdot 2=2500\cdot 4=2000\cdot 5=1250\cdot 8=1000\cdot 10=625\cdot 16=500\cdot 20=400\cdot 25=250\cdot 40=200\cdot 50=125\cdot 80.$$

Тогда:

1. $$100+p=10000,\quad 100-q=1$$
   $$p=9900,\quad q=99.$$
2. $$100+p=5000,\quad 100-q=2$$
   $$p=4900,\quad q=98.$$
3. $$100+p=2500,\quad 100-q=4$$
   $$p=2400,\quad q=96.$$
4. $$100+p=2000,\quad 100-q=5$$
   $$p=1900,\quad q=95.$$
5. $$100+p=1250,\quad 100-q=8$$
   $$p=1150,\quad q=92.$$
6. $$100+p=1000,\quad 100-q=10$$
   $$p=900,\quad q=90.$$
7. $$100+p=625,\quad 100-q=16$$
   $$p=525,\quad q=84.$$
8. $$100+p=500,\quad 100-q=20$$
   $$p=400,\quad q=80.$$
9. $$100+p=400,\quad 100-q=25$$
   $$p=300,\quad q=75.$$
10. $$100+p=250,\quad 100-q=40$$
    $$p=150,\quad q=60.$$
11. $$100+p=200,\quad 100-q=50$$
    $$p=100,\quad q=50.$$
12. $$100+p=125,\quad 100-q=80$$
    $$p=25,\quad q=20.$$

Ответ

$$(9900;99),\ (4900;98),\ (2400;96),\ (1900;95),\ (1150;92),\ (900;90),\ (525;84),\ (400;80),\ (300;75),\ (150;60),\ (100;50),\ (25;20).$$