Задание на исследование 12 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

12. Найдите все тройки натуральных чисел $$m$$, $$n$$ и $$k$$, удовлетворяющие уравнению:
    а) $$5 \cdot k! = m! + n!$$;
    б) $$k! = 3 \cdot m! + 6 \cdot n!$$
    ($$1! = 1$$; $$2! = 1 \cdot 2$$; $$n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$$).

а) Рассмотрим уравнение $$5\cdot k! = m! — n!,$$ где $$m>n,\; m>k.$$ Перенесём слагаемые:

$$5\cdot k! + n! = m!.$$

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$k>n,$$ то разделим равенство на $$k!$$:

   $$5+\frac{n!}{k!}=\frac{m!}{k!}.$$

   Левая часть не является целым числом, а правая — целое число. Значит, решений нет.

2. Если $$k<n,$$ то разделим равенство на $$n!$$:

   $$\frac{5k!}{n!}+1=\frac{m!}{n!}.$$

   Правая часть — целое число, значит и левая должна быть целой. Это возможно только при $$k=4,\; n=5,$$ но тогда $$m!$$ должно быть равно $$2\cdot 5!,$$ что невозможно.

3. Если $$k=n,$$ то получаем:

   $$5k!=m!-k!,$$

   то есть

   $$6k!=m!.$$

   Подходящие значения:

   $$m=6,\; k=n=5$$

   и

   $$m=3,\; k=n=1.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$k!=3\cdot m!+6\cdot n!, \qquad m<k,\; n<k.$$

Положим $$m=n.$$ Тогда

$$k!=9m!.$$

Отсюда получаем решение:

$$k=9,\; m=8,\; n=8.$$

Ответ

а) $$m=6,\; k=n=5$$; $$m=3,\; k=n=1$$.
б) $$k=9,\; m=8,\; n=8.$$