Задание на исследование 11 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

1. Найдите несократимую дробь $$\frac{p}{q}$$ такую, что $$\frac{p}{q}=\frac{123444\ldots4321}{1234555\ldots54321}$$ (100 четвёрок в числителе и 99 пятёрок в знаменателе).

Представим числитель и знаменатель в виде произведения:

$$123444\ldots4321=111\ldots1\cdot 1111,$$
$$1234555\ldots54321=111\ldots1\cdot 11111.$$

Тогда

$$\frac{p}{q}=\frac{1111}{11111}.$$

Докажем, что эта дробь несократима.

Пусть $$\gcd(p,q)=d\ne 1$$. Тогда число

$$11111-1111=10^4$$

делится на $$d$$. Значит, $$d$$ не имеет простых делителей, кроме $$2$$ и $$5$$. Но числа $$p$$ и $$q$$ не делятся ни на $$2$$, ни на $$5$$, следовательно, $$d=1$$.

Значит, дробь $$\frac{1111}{11111}$$ несократима.

Ответ

$$\frac{p}{q}=\frac{1111}{11111}.$$