Упр.1071 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Старинная задача. $$\text{А}$$ и $$\text{Б}$$ вместе могут выполнить некоторую работу за $$a$$ дней, $$\text{А}$$ и $$\text{В}$$ — за $$b$$ дней, $$\text{Б}$$ и $$\text{В}$$ — за $$c$$ дней. За сколько дней $$\text{А}$$, $$\text{Б}$$ и $$\text{В}$$ порознь выполнили бы эту работу?

Примем всю работу за $$1$$.

Тогда за день вместе выполняют:

$$A+B=\frac{1}{a}, \qquad A+В=\frac{1}{b}, \qquad B+В=\frac{1}{c}.$$

Найдём производительность каждого по отдельности.

Для А:

$$(A+B)+(A+В)-(B+В)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c},$$

значит,

$$2A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c} =\frac{bc+ac-ab}{abc},$$

откуда

$$A=\frac{bc+ac-ab}{2abc}.$$

Следовательно, А выполнит работу за

$$\frac{1}{A}=\frac{2abc}{bc+ac-ab}\ \text{дней}.$$

Для Б:

$$(A+B)+(B+В)-(A+В)=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b},$$

значит,

$$2B=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b} =\frac{bc+ab-ac}{abc},$$

откуда

$$B=\frac{bc+ab-ac}{2abc},$$

и тогда Б выполнит работу за

$$\frac{1}{B}=\frac{2abc}{bc+ab-ac}\ \text{дней}.$$

Для В:

$$(A+В)+(B+В)-(A+B)=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a},$$

значит,

$$2В=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a} =\frac{ab+ac-bc}{abc},$$

откуда

$$В=\frac{ab+ac-bc}{2abc},$$

и тогда В выполнит работу за

$$\frac{1}{В}=\frac{2abc}{ab+ac-bc}\ \text{дней}.$$

Ответ

$$A=\frac{2abc}{bc+ac-ab}, \qquad Б=\frac{2abc}{bc+ab-ac}, \qquad В=\frac{2abc}{ab+ac-bc}.$$