Упр.1071 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 7 класс, Просвещение: 1071 Старинная задача. А и Б вместе могут выполнить некоторую работу за а дней, А к В — за b дней, Б и В — за с дней. За сколько дней А, Б и В порознь выполнили бы эту работу?

Примем всю работу за $$1$$.

Тогда за день вместе выполняют:

$$A+B=\frac{1}{a}, \qquad A+В=\frac{1}{b}, \qquad B+В=\frac{1}{c}.$$

Найдём производительность каждого по отдельности.

Для А:

$$ (A+B)+(A+В)-(B+В)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}, $$

значит,

$$ 2A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c} =\frac{bc+ac-ab}{abc}, $$

откуда

$$ A=\frac{bc+ac-ab}{2abc}. $$

Следовательно, А выполнит работу за

$$ \frac{1}{A}=\frac{2abc}{bc+ac-ab}\ \text{дней}. $$

Для Б:

$$ (A+B)+(B+В)-(A+В)=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}, $$

значит,

$$ 2B=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b} =\frac{bc+ab-ac}{abc}, $$

откуда

$$ B=\frac{bc+ab-ac}{2abc}, $$

и тогда Б выполнит работу за

$$ \frac{1}{B}=\frac{2abc}{bc+ab-ac}\ \text{дней}. $$

Для В:

$$ (A+В)+(B+В)-(A+B)=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a}, $$

значит,

$$ 2В=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a} =\frac{ab+ac-bc}{abc}, $$

откуда

$$ В=\frac{ab+ac-bc}{2abc}, $$

и тогда В выполнит работу за

$$ \frac{1}{В}=\frac{2abc}{ab+ac-bc}\ \text{дней}. $$

Ответ

$$A=\frac{2abc}{bc+ac-ab}, \qquad Б=\frac{2abc}{bc+ab-ac}, \qquad В=\frac{2abc}{ab+ac-bc}.$$