Упр.1051 ГДЗ Никольский Потапов 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 7 класс, Просвещение: 1051 Старинная задача. Половину некоторой работы а человек совершили в с дней, после чего для окончания этой работы к ним прибыло ещё b человек, работавших с таким же успехом, как и первые. Сколько времени длилась вся работа? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 nikol7 1051 715

Подробный ответ

Пусть вся работа принята за 1.

За первые $$s$$ дней выполнена половина работы, значит производительность первых $$a$$ человек равна

$$\frac{1/2}{s}=\frac{1}{2s}.$$

Тогда за $$s$$ дней первые $$a$$ человек выполняют половину работы, а оставшуюся половину после прибытия ещё $$b$$ человек выполняют уже $$a+b$$ человек с той же производительностью. Время на вторую половину работы равно

$$\frac{1/2}{\frac{a+b}{2as}}=\frac{as}{a+b}.$$

Но удобнее рассуждать так: если $$a$$ человек выполняют половину работы за $$s$$ дней, то вся работа ими была бы выполнена за $$2s$$ дней. После прибавления ещё $$b$$ человек производительность стала в $$\frac{a+b}{a}$$ раза больше, значит вторая половина работы заняла

$$\frac{as}{a+b}.$$

Тогда всё время работы:

$$s+\frac{as}{a+b}=\frac{s(2a+b)}{a+b}.$$

Эквивалентно, если первая половина работы длилась $$\frac12 ac$$, а вторая — $$\frac12 c(a+b)$$, то вся работа длилась

$$\frac12 ac+\frac12 c(a+b)=\frac{2a+b}{2}c=ac+\frac{bc}{2}.$$