Практикум. Задача 9 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

К 27 кг сплава свинца и олова, содержащего 40 % свинца, добавили некоторое количество свинца, в результате чего содержание олова в сплаве понизилось на 6 %. Сколько килограммов свинца было добавлено в сплав?
Обозначив число килограммов свинца, добавленного в сплав, буквой Х, выразите:
а) массу свинца в первоначальном сплаве;
б) массу свинца в сплаве после добавления свинца;
в) массу сплава после добавления в него свинца;
г) отношение полученной массы свинца к массе сплава.
Учитывая, что процентное содержание свинца возросло на 6 %, составьте уравнение.
Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.
Дополнительные вопросы
1. Сколько свинца нужно было бы добавить в первоначальный сплав, чтобы его содержание в сплаве оказалось равным 50 %?
2. Как изменилось бы процентное содержание олова в сплаве, если в первоначальный сплав добавить 23 кг олова?

Подробный ответ

Пусть в сплав добавили $$x$$ кг свинца.

Тогда в первоначальном сплаве было свинца:

$$27 \cdot 0{,}4 = 10{,}8 \text{ кг}.$$

После добавления свинца его масса стала:

$$10{,}8 + x \text{ кг}.$$

Масса всего сплава стала:

$$27 + x \text{ кг}.$$

Так как содержание свинца увеличилось на $$6\%$$, то оно стало $$46\%$$, то есть $$0{,}46$$.

Составим уравнение:

$$\frac{10{,}8 + x}{27 + x} = 0{,}46.$$

Решим его:

$$ 10{,}8 + x = 0{,}46(27 + x) \\ 10{,}8 + x = 12{,}42 + 0{,}46x \\ x — 0{,}46x = 12{,}42 — 10{,}8 \\ 0{,}54x = 1{,}62 \\ x = 3 $$

Значит, в сплав добавили $$3$$ кг свинца.

Дополнительные вопросы:

Чтобы содержание свинца стало $$50\%$$, составим уравнение:
$$\frac{10{,}8 + x}{27 + x} = 0{,}5.$$
$$ 10{,}8 + x = 0{,}5(27 + x) \\ 10{,}8 + x = 13{,}5 + 0{,}5x \\ 0{,}5x = 2{,}7 \\ x = 5{,}4 $$
Нужно было бы добавить $$5{,}4$$ кг свинца.
В первоначальном сплаве было олова:
$$27 — 10{,}8 = 16{,}2 \text{ кг}.$$
Если добавить $$23$$ кг олова, то его станет:
$$16{,}2 + 23 = 39{,}2 \text{ кг}.$$
Масса сплава станет:
$$27 + 23 = 50 \text{ кг}.$$
Новое содержание олова:
$$\frac{39{,}2}{50} \cdot 100\% = 78{,}4\%.$$
Первоначально олова было $$60\%$$, значит, его содержание увеличилось на $$18{,}4\%$$.