Практикум. Задача 17 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Лыжная трасса состоит из подъёма и спуска, причём подъём на 8 км короче спуска. Лыжник, двигаясь на спуске со скоростью 18 км/ч, а на подъёме — со скоростью 8 км/ч, затратил на подъём на 15 мин больше, чем на спуск. Найдите длину каждого участка трассы.
Обозначив длину спуска (в километрах) буквой х, выразите:
а) длину подъёма в километрах;
б) время (в часах), затраченное на спуск;
в) время (в часах), затраченное на подъём.
Сравнив время, затраченное на спуск и на подъём, составьте уравнение.
Решите уравнение и запишите ответ.
Дополнительные вопросы
1. Какова средняя скорость лыжника на всей трассе?
2. Сколько времени затратит лыжник на обратный путь, если будет двигаться на подъёме со скоростью 8 км/ч, а на спуске — 18 км/ч?

Пусть длина спуска равна $$x$$ км. Тогда длина подъёма равна $$x-8$$ км.

Время на спуск:

$$\frac{x}{18}\text{ ч}$$

Время на подъём:

$$\frac{x-8}{8}\text{ ч}$$

По условию на подъём затратили на $$15$$ мин больше, то есть на $$\frac{1}{4}$$ ч больше:

$$\frac{x-8}{8}-\frac{x}{18}=\frac{1}{4}$$

Умножим обе части на $$72$$:

$$9(x-8)-4x=18$$

$$9x-72-4x=18$$

$$5x=90$$

$$x=18$$

Значит, длина спуска равна $$18$$ км, а длина подъёма:

$$18-8=10$$ км.

Найдём среднюю скорость на всей трассе. Общая длина пути:

$$18+10=28\text{ км}$$

Общее время:

$$\frac{18}{18}+\frac{10}{8}=1+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}\text{ ч}$$

Средняя скорость:

$$\frac{28}{9/4}=28\cdot\frac{4}{9}=\frac{112}{9}=12\frac{4}{9}\text{ км/ч}$$

На обратном пути участки меняются местами: подъём будет длиной $$10$$ км, спуск — $$18$$ км. Тогда время на обратный путь:

$$\frac{10}{8}+\frac{18}{18}=\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}\text{ ч}=2\text{ ч }15\text{ мин}$$

Ответ

Длина спуска — $$18$$ км, длина подъёма — $$10$$ км. Средняя скорость на всей трассе — $$12\frac{4}{9}$$ км/ч. На обратный путь лыжник затратит $$2$$ ч $$15$$ мин.