Практикум. Задача 12 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 32 см^2. Найдите площадь данного прямоугольника.
Обозначив ширину прямоугольника в сантиметрах буквой Х, выразите:
а) длину прямоугольника, учитывая, что сумма длины и ширины равна половине периметра;
б) площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах;
в) длину и ширину изменённого прямоугольника;
г) площадь изменённого прямоугольника.
Сравните площади данного и изменённого прямоугольников и запишите уравнение.
Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.
Дополнительные вопросы
1. На сколько изменится периметр прямоугольника после изменения длин его сторон?
2. На сколько процентов при этом изменится площадь прямоугольника?

Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ см. Тогда длина равна

$$30-x$$

так как половина периметра равна $$60:2=30$$.

Тогда площадь данного прямоугольника:

$$S=x(30-x).$$

После изменения сторон длина станет равной

$$30-x+10=40-x,$$

а ширина —

$$x-6.$$

Площадь изменённого прямоугольника:

$$S_1=(40-x)(x-6).$$

По условию площадь уменьшилась на $$32$$ см², значит:

$$x(30-x)-(40-x)(x-6)=32.$$

Раскроем скобки:

$$ x(30-x)-(40-x)(x-6)=32 \\ 30x-x^2-(40x-240-x^2+6x)=32 \\ 30x-x^2-40x+240+x^2-6x=32 \\ -16x+240=32 \\ -16x=-208 \\ x=13. $$

Значит, ширина прямоугольника равна $$13$$ см, а длина:

$$30-13=17$$ см.

Площадь данного прямоугольника:

$$S=13\cdot 17=221\text{ см}^2.$$

Проверим дополнительные вопросы.

1. Периметр изменённого прямоугольника:

$$2\bigl((40-x)+(x-6)\bigr)=2\cdot 34=68\text{ см}.$$

Периметр увеличится на

$$68-60=8\text{ см}.$$

2. Площадь изменённого прямоугольника:

$$S_1=(40-13)(13-6)=27\cdot 7=189\text{ см}^2.$$

Площадь уменьшится на

$$221-189=32\text{ см}^2,$$

то есть на

$$\frac{32}{221}\cdot 100\% \approx 14{,}5\%.$$

Ответ

$$221\text{ см}^2.$$ Дополнительно: периметр увеличится на $$8$$ см, площадь уменьшится на $$14{,}5\%$$.