Практикум. Задача 12 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)
- Задача 12. Периметр прямоугольника равен $$60\ \text{см}$$. Если длину прямоугольника увеличить на $$10\ \text{см}$$, а ширину уменьшить на $$6\ \text{см}$$, то площадь прямоугольника уменьшится на $$32\ \text{см}^2$$. Найдите площадь данного прямоугольника.
Обозначив ширину прямоугольника в сантиметрах буквой $$x$$, выразите:
а) длину прямоугольника, учитывая, что сумма длины и ширины равна половине периметра;
б) площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах;
в) длину и ширину изменённого прямоугольника;
г) площадь изменённого прямоугольника.Сравните площади данного и изменённого прямоугольников и запишите уравнение. Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.
Дополнительные вопросы:
1. На сколько изменится периметр прямоугольника после изменения длин его сторон?
2. На сколько процентов при этом изменится площадь прямоугольника?
Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ см. Тогда длина равна
$$30-x$$
так как половина периметра равна $$60:2=30$$.
Тогда площадь данного прямоугольника:
$$S=x(30-x).$$
После изменения сторон длина станет равной
$$30-x+10=40-x,$$
а ширина —
$$x-6.$$
Площадь изменённого прямоугольника:
$$S_1=(40-x)(x-6).$$
По условию площадь уменьшилась на $$32$$ см2, значит:
$$x(30-x)-(40-x)(x-6)=32.$$
Раскроем скобки:
$$x(30-x)-(40-x)(x-6)=32 \\ 30x-x^2-(40x-240-x^2+6x)=32 \\ 30x-x^2-40x+240+x^2-6x=32 \\ -16x+240=32 \\ -16x=-208 \\ x=13.$$
Значит, ширина прямоугольника равна $$13$$ см, а длина:
$$30-13=17$$ см.
Площадь данного прямоугольника:
$$S=13\cdot 17=221\text{ см}^2.$$
Проверим дополнительные вопросы.
1. Периметр изменённого прямоугольника:
$$2\bigl((40-x)+(x-6)\bigr)=2\cdot 34=68\text{ см}.$$
Периметр увеличится на
$$68-60=8\text{ см}.$$
2. Площадь изменённого прямоугольника:
$$S_1=(40-13)(13-6)=27\cdot 7=189\text{ см}^2.$$
Площадь уменьшится на
$$221-189=32\text{ см}^2,$$
то есть на
$$\frac{32}{221}\cdot 100\% \approx 14{,}5\%.$$
Ответ
$$221\text{ см}^2.$$ Дополнительно: периметр увеличится на $$8$$ см, площадь уменьшится на $$14{,}5\%$$.
