Практикум. Задача 11 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 8 дм, а длину уменьшить на 10 дм, то площадь прямоугольника увеличится на 220 дм^2. Найдите площадь данного прямоугольника.
Обозначив ширину данного прямоугольника в дециметрах буквой х, выразите:
а) длину данного прямоугольника в дециметрах;
б) площадь того же прямоугольника в квадратных дециметрах;
в) длину и ширину изменённого прямоугольника;
г) площадь изменённого прямоугольника.
Сравните площади данного и изменённого прямоугольников и запишите уравнение.
Решите уравнение и запишите ответ на вопрос задачи.
Дополнительные вопросы
1. Какой из прямоугольников, данный или изменённый, имеет больший периметр и на сколько дециметров?
2. На сколько процентов площадь изменённого прямоугольника больше площади данного?

Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ дм. Тогда его длина равна $$2x$$ дм.

Площадь данного прямоугольника:

$$S_1=x\cdot 2x=2x^2.$$

После изменения ширина станет $$x+8$$ дм, а длина — $$2x-10$$ дм. Тогда площадь изменённого прямоугольника:

$$S_2=(x+8)(2x-10).$$

По условию площадь увеличилась на $$220$$ дм², значит:

$$ (x+8)(2x-10)-2x^2=220 $$

Раскроем скобки:

$$ 2x^2-10x+16x-80-2x^2=220 $$

$$ 6x-80=220 $$

$$ 6x=300 $$

$$ x=50. $$

Тогда ширина прямоугольника равна $$50$$ дм, а длина — $$100$$ дм.

Найдём площадь данного прямоугольника:

$$ S_1=50\cdot 100=5000 $$

дм².

Проверим дополнительные вопросы.

1. Периметр данного прямоугольника:

$$ P_1=2(50+100)=300 $$

дм.

Периметр изменённого прямоугольника:

$$ P_2=2(58+90)=296 $$

дм.

Значит, периметр данного прямоугольника больше на $$4$$ дм.

2. Площадь изменённого прямоугольника:

$$ S_2=58\cdot 90=5220 $$

дм².

На сколько процентов она больше площади данного прямоугольника:

$$ \frac{5220-5000}{5000}\cdot 100\%=\frac{220}{5000}\cdot 100\%=4{,}4\%. $$

Ответ

$$5000$$ дм²; 1) периметр данного прямоугольника больше на $$4$$ дм; 2) на $$4{,}4\%$$.