Контрольные вопросы и задания стр.52 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

1. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? В каких случаях говорят, что два уравнения образуют систему уравнений?
2. Даны два уравнения: 2х + у = 15 и х — 2у = 7. Найдите пару значений переменных х и у, которые:
1) удовлетворяют первому уравнению, но не удовлетворяют второму;
2) удовлетворяют второму уравнению, но не удовлетворяют первому;
3) удовлетворяют обоим уравнениям;
4) не удовлетворяют ни одному уравнению.
3. Решите систему уравнений {4x — 5y = 25; 3x + 2y = 0,5}.
4. Решите старинную задачу. Некто сказал другу: «Дай мне 100 р., и я стану вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10 р., и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?

Подробный ответ

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара чисел $$\left(x;y\right),$$ которая обращает оба уравнения в верные числовые равенства.
Два уравнения образуют систему уравнений, если они имеют одинаковые корни.
Рассмотрим уравнения $$2x+y=15$$ и $$x-2y=7.$$
1) Например, $$x=4,\ y=7.$$ Тогда
$$2\cdot 4+7=15,$$
но
$$4-2\cdot 7=-10\ne 7.$$
2) Например, $$x=9,\ y=1.$$ Тогда
$$2\cdot 9+1=19\ne 15,$$
но
$$9-2\cdot 1=7.$$
3) Решим систему:
$$ \begin{aligned} 2x+y&=15,\\ x-2y&=7. \end{aligned} $$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$ \begin{aligned} 2x+y&=15,\\ 2x-4y&=14. \end{aligned} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$5y=1,\qquad y=0{,}2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2x+0{,}2=15,\qquad 2x=14{,}8,\qquad x=7{,}4.$$
Пара $$\left(7{,}4;\ 0{,}2\right)$$ удовлетворяет обоим уравнениям.
4) Например, $$x=2,\ y=5.$$ Тогда
$$2\cdot 2+5=9\ne 15,$$
и
$$2-2\cdot 5=-8\ne 7.$$
Решим систему:
$$ \begin{aligned} 4x-5y&=25,\\ 3x+2y&=0{,}5. \end{aligned} $$
Умножим первое уравнение на $$2$$, а второе на $$5$$:
$$ \begin{aligned} 8x-10y&=50,\\ 15x+10y&=2{,}5. \end{aligned} $$
Сложим уравнения:
$$23x=52{,}5,\qquad x=\frac{52{,}5}{23}=\frac{105}{46}=2\frac{13}{46}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4\cdot \frac{105}{46}-5y=25,$$
$$\frac{210}{23}-5y=25,$$
$$-5y=\frac{365}{23},\qquad y=-\frac{73}{23}=-3\frac{4}{23}.$$
Пусть у первого было $$x$$ руб., тогда у второго — $$y$$ руб.
По условию:
$$x+100=2(y-100),$$
$$y+10=6(x-10).$$
Получаем систему:
$$ \begin{aligned} x+100&=2y-200,\\ y+10&=6x-60. \end{aligned} $$
Приведём к стандартному виду:
$$ \begin{aligned} x-2y&=-300,\\ 6x-y&=70. \end{aligned} $$
Умножим первое уравнение на $$6$$:
$$6x-12y=-1800.$$
Вычтем из него второе уравнение:
$$-11y=-1870,\qquad y=170.$$
Тогда
$$x-2\cdot 170=-300,\qquad x=40.$$