Контрольные вопросы и задания стр.109 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Сформулируйте основное свойство степени.
2. 1) Как можно возвести в степень произведение чисел, степень числа?
   2) Запишите результат вычислений в виде $$a \cdot 10^n$$, где $$1 \leq a < 10$$: а) $$(5 \cdot 10^4)^3$$; б) $$(7 \cdot 10^5)^3 \cdot (2 \cdot 10^6)^2$$.
3. Замените выражение $$(p^2)^5 \cdot (p^4)^3$$ степенью с основанием $$p$$, указывая, какие свойства степени вы применяете.
4. Вычислите $$\frac{(2^5)^2 \cdot 3^8}{6^6}$$.

1. Основное свойство степени при умножении степеней с одинаковыми основаниями:
   $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$$

2. 1) Степень произведения равна произведению степеней множителей:

   $$(ab)^n = a^n b^n.$$

   При возведении степени в степень показатели перемножают:

   $$(a^m)^n = a^{mn}.$$

   2) Запишем в виде $$a \cdot 10^n$$, где $$1 \le a < 10$$:

   а)
   $$(5 \cdot 10^4)^3 = 5^3 \cdot 10^{12} = 125 \cdot 10^{12} = 1{,}25 \cdot 10^2 \cdot 10^{12} = 1{,}25 \cdot 10^{14}.$$

   б)
   $$(7 \cdot 10^5)^3 \cdot (2 \cdot 10^6)^2 = 7^3 \cdot 10^{15} \cdot 2^2 \cdot 10^{12} = 343 \cdot 4 \cdot 10^{27} = 1372 \cdot 10^{27} = 1{,}372 \cdot 10^3 \cdot 10^{27} = 1{,}372 \cdot 10^{30}.$$

3. $$(p^2)^5 \cdot (p^4)^3 = p^{2 \cdot 5} \cdot p^{4 \cdot 3} = p^{10} \cdot p^{12} = p^{10+12} = p^{22}.$$

   Использованы свойства: возведение степени в степень и основное свойство степени.

4. $$\frac{(2^5)^2 \cdot 3^8}{6^6} = \frac{2^{10} \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^6} = \frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^6 \cdot 3^6} = 2^{10-6} \cdot 3^{8-6} = 2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144.$$

Ответ

1) $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}.$$
2) 1) $$(ab)^n = a^n b^n,$$ $$(a^m)^n = a^{mn}.$$
2) а) $$1{,}25 \cdot 10^{14};$$ б) $$1{,}372 \cdot 10^{30}.$$
3) $$p^{22}.$$
4) $$144.$$