Домашняя контрольная работа 9 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение, используя формулы сокращённого умножения:
1) (6x — 7)^2 — (5х + 7)(5x — 7);
2) У(У + б)^2 — (у + 1)(y — 6)^2.
2. Представьте в виде квадрата двучлена:
1) 100 — 140а + 49а^2; 2) х^4 + 18х^2 у + 81у^2.
3. Разложите на множители:
1) (х^2 — 4х)^2 — 16; 2) 9b^2 — 25с^2 — 3b + 5с.
4. Сократите дробь (x^2 — y^2)/(x^2 — xy)^2.
5. Может ли при отличных от нуля значениях переменных а и b быть верным равенство
(а — 3b)^2 = а^2 — 9b^2 ?

1. Упростим выражения, используя формулы сокращённого умножения:

   $$ (6x-7)^2-(5x+7)(5x-7)=36x^2-84x+49-(25x^2-49)=11x^2-84x+98 $$

   $$ y(y+6)^2-(y+1)(y-6)^2=y(y^2+12y+36)-(y+1)(y^2-12y+36) $$
   $$=y^3+12y^2+36y-(y^3-11y^2+24y+36)=23y^2+12y-36 $$

2. Представим выражения в виде квадрата двучлена:

   $$100-140a+49a^2=10^2-2\cdot 10\cdot 7a+(7a)^2=(10-7a)^2$$

   $$x^4+18x^2y+81y^2=(x^2)^2+2\cdot x^2\cdot 9y+(9y)^2=(x^2+9y)^2$$

3. Разложим на множители:

   $$ (x^2-4x)^2-16=\bigl((x^2-4x)-4\bigr)\bigl((x^2-4x)+4\bigr) $$
   $$=(x^2-4x-4)(x^2-4x+4)=(x^2-4x-4)(x-2)^2 $$

   $$9b^2-25c^2-3b+5c=(9b^2-25c^2)-(3b-5c) $$
   $$=(3b-5c)(3b+5c)-(3b-5c)=(3b-5c)(3b+5c-1) $$

4. Сократим дробь:

   $$\frac{x^2-y^2}{(x^2-xy)^2}=\frac{(x-y)(x+y)}{(x(x-y))^2}=\frac{(x-y)(x+y)}{x^2(x-y)^2}=\frac{x+y}{x^2(x-y)}$$

5. Проверим, может ли при ненулевых значениях $a$ и $b$ выполняться равенство:

   $$(a-3b)^2=a^2-9b^2$$
   $$a^2-6ab+9b^2=a^2-9b^2$$
   $$-6ab+18b^2=0$$
   $$6b(3b-a)=0$$

   Так как $a\neq 0$ и $b\neq 0$, то $b=0$ не подходит. Остаётся

   $$3b-a=0,\quad a=3b$$

   При таких значениях равенство верно.

Ответ

1) $$11x^2-84x+98$$; $$23y^2+12y-36$$
2) $$(10-7a)^2$$; $$(x^2+9y)^2$$
3) $$(x^2-4x-4)(x-2)^2$$; $$(3b-5c)(3b+5c-1)$$
4) $$\frac{x+y}{x^2(x-y)}$$
5) Да, может, например при $$a=3b$$.