Домашняя контрольная работа 8 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

1. Приведите к многочлену стандартного вида выражение
(а — 6)(а + 5)(а — 1) — (а^2 — 2а)(а + 1).
2. Разложите на множители:
1) 9х — 15у + 20ху^2 — 12х^2 у; 2) (3а — 4)^3 + а(3а — 4)^2.
3. Решите задачу составлением уравнения или системы уравнений.
Периметр прямоугольника равен 65 см. Если длину прямоугольника уменьшить на 6 см, а ширину увеличить на 2 см, то его площадь уменьшится на 27 см^2. Найдите площадь прямоугольника.
4. Решите уравнение, разложив его левую часть на множители у^3 — 2у^2 + 3у — 6 = 0.
5. Впишите пропущенные одночлены так, чтобы получилось тождество 20ас + 8bс + 6ab + … = (3а + 4с)(… + …).

Подробный ответ

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$ (a-6)(a+5)(a-1)-(a^2-2a)(a+1)= $$
$$ =(a^2-a-30)(a-1)-(a^3-a^2-2a)= $$
$$ =a^3-2a^2-a^2+a+30a-30-a^3+a^2+2a= $$
$$ =-a^2+33a-30. $$
Разложим на множители:
1) $$ 9x-15y+20xy^2-12x^2y= $$
$$ =(9x-15y)+(20xy^2-12x^2y)= $$
$$ =3(3x-5y)+4xy(5y-3x)= $$
$$ =3(3x-5y)-4xy(3x-5y)= $$
$$ =(3x-5y)(3-4xy). $$
2) $$ (3a-4)^3+a(3a-4)^2= $$
$$ =(3a-4)^2\bigl((3a-4)+a\bigr)= $$
$$ =(3a-4)^2(4a-4)=4(3a-4)^2(a-1). $$
Пусть длина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда ширина равна $$\frac{65}{2}-x$$ см, так как
$$ 2(x+y)=65 \Rightarrow x+y=32{,}5. $$
По условию:
$$ (x-6)(y+2)=xy-27. $$
Подставим $$y=32{,}5-x$$:
$$ (x-6)(34{,}5-x)=x(32{,}5-x)-27. $$
$$ -x^2+40{,}5x-207=-x^2+32{,}5x-27. $$
$$ 8x=180 \Rightarrow x=22{,}5. $$
Тогда $$y=10$$.
Площадь прямоугольника:
$$ S=xy=22{,}5\cdot 10=225\text{ см}^2. $$
Разложим левую часть на множители:
$$ y^3-2y^2+3y-6=y^2(y-2)+3(y-2)=(y-2)(y^2+3). $$
Тогда
$$ (y-2)(y^2+3)=0. $$
Отсюда
$$ y-2=0 \Rightarrow y=2. $$
Так как $$y^2+3\neq 0$$ при любых действительных $$y$$, других корней нет.
Подберём недостающие одночлены:
$$ 20ac+8bc+6ab+15a^2=(3a+4c)(5a+2b). $$
Проверка:
$$ (3a+4c)(5a+2b)=15a^2+6ab+20ac+8bc. $$