Исследовательская работа 6 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)
Исследование площади прямоугольника, вписанного в треугольник
В треугольник АВС, основание которого 10 см, а высота 8 см, вписано несколько прямоугольников различной высоты, каждый из которых имеет две вершины на основании, а две другие — на боковых сторонах треугольника (рис. 68).
Учитывая, что можно построить сколько угодно вписанных таким образом прямоугольников, постройте самостоятельно прямоугольники с высотами, указанными в таблице, измерьте основание каждого прямоугольника и вычислите его площадь. Результаты запишите в таблицу.
При каком значении h у вас получился прямоугольник наибольшей площади? Каково наибольшее из полученных значений S? Сравните высоту, основание и площадь этого прямоугольника соответственно с высотой, основанием и площадью треугольника АВС. Какую гипотезу можно высказать в результате проведённого исследования?
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $$S=ha,$$ где $$h$$ — высота, $$a$$ — основание.
По данным таблицы получаем:
| $$h$$, см | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$3{,}5$$ | $$4$$ | $$4{,}5$$ | $$5$$ | $$6$$ | $$7{,}5$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$a$$, см | $$9{,}4$$ | $$8{,}8$$ | $$7{,}5$$ | $$6{,}2$$ | $$5{,}6$$ | $$5$$ | $$4{,}4$$ | $$3{,}6$$ | $$2{,}4$$ | $$0{,}6$$ |
| $$S$$, см$$^2$$ | $$4{,}7$$ | $$8{,}8$$ | $$15$$ | $$18{,}6$$ | $$19{,}6$$ | $$20$$ | $$19{,}8$$ | $$18$$ | $$14{,}4$$ | $$4{,}5$$ |
Наибольшая площадь получилась при $$h=4$$ см:
$$S_{\max}=4\cdot 5=20\text{ см}^2.$$
Сравним этот прямоугольник с треугольником $$ABC$$:
$$h_{\text{тр}}=8\text{ см}, \quad h_{\text{пр}}=4\text{ см},$$
$$a_{\text{тр}}=10\text{ см}, \quad a_{\text{пр}}=5\text{ см},$$
$$S_{\text{тр}}=\frac12\cdot 10\cdot 8=40\text{ см}^2,\quad S_{\text{пр}}=20\text{ см}^2.$$
Значит, высота и основание наибольшего прямоугольника в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника, а его площадь в 2 раза меньше площади треугольника.
Гипотеза: площадь наибольшего прямоугольника, вписанного в треугольник таким образом, равна половине площади треугольника.
Ответ
Наибольшая площадь получается при $$h=4$$ см и равна $$20\text{ см}^2$$. Гипотеза: площадь наибольшего вписанного прямоугольника равна половине площади треугольника.
