Домашняя контрольная работа 11 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение $$c(3c-7)^2-\left(8c^2-(3c-1)(3c+1)c\right)$$.
Сократите дробь $$\frac{a^2-4ab+3ac-12bc}{16b^2-a^2}$$.
Решите задачу. Расстояние между двумя станциями поезд проходит за 40 мин. Если скорость поезда увеличить на 10 км/ч, то он пройдёт то же расстояние за 36 мин. Найдите расстояние между станциями.
Решите графически систему уравнений $$\begin{cases}4x-5y=-20,\\x=-1{,}2y.\end{cases}$$
Докажите, что если $$n$$ — нечётное число, то значение выражения $$(n+2)^2-1$$ делится на 8.

Подробный ответ

$$c(3c-7)^2-(8c^2-(3c-1)(3c+1)c)$$
$$=c(9c^2-42c+49)-\bigl(8c^2-(9c^2-1)c\bigr)$$
$$=9c^3-42c^2+49c-8c^2+9c^3-c$$
$$=18c^3-50c^2+48c.$$
$$\frac{a^2-4ab+3ac-12bc}{16b^2-a^2} =\frac{(a^2+3ac)-(4ab+12bc)}{(4b-a)(4b+a)}$$
$$=\frac{a(a+3c)-4b(a+3c)}{(4b-a)(4b+a)}$$
$$=\frac{(a+3c)(a-4b)}{-(a-4b)(4b+a)}$$
$$=-\frac{a+3c}{a+4b}.$$
Пусть скорость поезда равна $$x$$ км/ч. Тогда расстояние между станциями:
$$\frac{2}{3}x$$ км, так как $$40\text{ мин}=\frac{2}{3}\text{ ч}.$$
При скорости $$x+10$$ км/ч то же расстояние равно:
$$\frac{3}{5}(x+10)$$ км, так как $$36\text{ мин}=\frac{3}{5}\text{ ч}.$$
Составим уравнение:
$$\frac{2}{3}x=\frac{3}{5}(x+10).$$
$$10x=9x+90,$$
$$x=90.$$
Тогда расстояние:
$$\frac{2}{3}\cdot 90=60\text{ км}.$$
Преобразуем первое уравнение:
$$4x-5y=-20,$$
$$5y=4x+20,$$
$$y=0{,}8x+4.$$
Второе уравнение:
$$x=-1{,}2y,$$
$$y=-\frac{5}{6}x.$$
Для построения графиков удобно взять точки:
- для $$y=0{,}8x+4$$: $$(0;4)$$ и $$(-5;0)$$;
- для $$y=-\frac{5}{6}x$$: $$(0;0)$$ и $$(-6;5)$$.
Точка пересечения графиков:
$$x\approx -2{,}5,\quad y\approx 2.$$
$$(n+2)^2-1=(n+2-1)(n+2+1)=(n+1)(n+3).$$
Так как $$n$$ — нечётное число, то $$n+1$$ и $$n+3$$ — последовательные чётные числа. Значит, одно из них делится на $$2$$, а другое — на $$4$$. Следовательно, их произведение делится на $$8$$.