Исследовательская работа 1 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

Работа 1. Исследование площади прямоугольника данного периметра

Периметр прямоугольника равен $$24\ \text{см}$$, а его основание — $$x$$ см. Задайте формулой зависимость площади $$S$$ (см$$^2$$) прямоугольника от $$x$$. Заполните таблицу.
При каком значении $$x$$ получился прямоугольник наибольшей площади? Каково наибольшее из полученных значений $$S$$?
Выберите сами два каких-либо значения $$x$$ и вычислите соответствующие значения $$S$$. Удалось ли вам получить значение $$S$$, большее, чем найденное ранее?
Какую гипотезу (гипотеза — научное предположение) можно высказать на основании проведённого исследования о форме прямоугольника наибольшей площади, имеющего данный периметр?

Подробный ответ

Пусть основание прямоугольника равно $$x$$ см. Тогда при периметре $$24$$ см

$$2(x+y)=24,$$

где $$y$$ — высота прямоугольника. Получаем

$$x+y=12,$$

значит,

$$y=12-x.$$

Тогда площадь прямоугольника выражается формулой

$$S=x(12-x).$$

Исследуем значения площади при разных $$x$$:

$$x$$, см	$$2$$	$$3$$	$$4$$	$$5$$	$$5{,}5$$	$$5{,}8$$	$$5{,}9$$	$$6$$	$$6{,}1$$	$$6{,}2$$	$$6{,}5$$	$$7$$	$$8$$	$$9$$	$$10$$
$$S$$, см$$^2$$	$$20$$	$$27$$	$$32$$	$$35$$	$$35{,}75$$	$$35{,}96$$	$$35{,}99$$	$$36$$	$$35{,}99$$	$$35{,}96$$	$$35{,}75$$	$$35$$	$$32$$	$$27$$	$$20$$

Видно, что наибольшая площадь получается при $$x=6$$ см. Тогда

$$S_{\max}=6\cdot(12-6)=6\cdot 6=36\text{ см}^2.$$

Если взять, например, $$x=1$$ и $$x=11$$, то

$$S=1\cdot(12-1)=11\text{ см}^2,$$

$$S=11\cdot(12-11)=11\text{ см}^2.$$

Это меньше, чем $$36\text{ см}^2$$.

Следовательно, можно выдвинуть гипотезу: наибольшую площадь при данном периметре имеет прямоугольник, который является квадратом.

Ответ

$$S=x(12-x).$$ Наибольшая площадь равна $$36\text{ см}^2$$ и достигается при $$x=6$$ см. Гипотеза: прямоугольник наибольшей площади при данном периметре — квадрат.