Упр.80 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

Определите тип задачи. Переведите условие задачи на математический язык (если возникнут сложности, см. раздел «Практикум по решению текстовых задач»).

Турист предполагал пройти шестикилометровый маршрут с некоторой скоростью. Однако из-за погодных условий его скорость оказалась на $$1\ \text{км/ч}$$ меньше, и турист прибыл в конечный пункт на $$2\ \text{ч}$$ позже, чем рассчитывал. С какой скоростью прошёл турист свой маршрут?
В зрительном зале клуба было $$22$$ ряда. После того как число рядов увеличили на $$2$$, а число мест в каждом ряду увеличили на $$4$$, в зале стало на $$128$$ мест больше, чем было первоначально. Сколько мест стало в зрительном зале?
Сколько граммов соли надо добавить к $$200\ \text{г}$$ $$10\%$$-го раствора соли, чтобы получить $$20\%$$-й раствор?
В саду было $$140$$ рядов фруктовых деревьев. При расширении сада число рядов довели до $$300$$, а число деревьев в каждом ряду увеличили на $$5$$, после чего число деревьев в саду увеличилось на $$11\,100$$. Сколько деревьев стало в саду?
В одном резервуаре $$380\ \text{м}^3$$ воды, а в другом — $$1500\ \text{м}^3$$. В первый резервуар каждый час поступает $$80\ \text{м}^3$$ воды, а из второго каждый час откачивается $$60\ \text{м}^3$$. Через сколько часов воды в резервуарах станет поровну?
За $$9\ \text{ч}$$ по течению реки теплоход проходит такой же путь, что за $$11\ \text{ч}$$ против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки $$2\ \text{км/ч}$$.

Подробный ответ

Пусть турист шёл со скоростью $$x$$ км/ч. Тогда по плану он должен был пройти маршрут за $$\frac{6}{x}$$ ч, а фактически шёл со скоростью $$x-1$$ км/ч и затратил $$\frac{6}{x-1}$$ ч.
По условию он прибыл на 2 ч позже, значит:
$$\frac{6}{x-1}-\frac{6}{x}=2.$$
$$6x-6(x-1)=2x(x-1)$$
$$6=2x^2-2x$$
$$x^2-x-3=0.$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.$$
Подходит только положительный корень:
$$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}.$$
Пусть в каждом ряду было $$x$$ мест. Тогда первоначально в зале было $$22x$$ мест.
После увеличения стало $$24$$ ряда и $$x+4$$ места в каждом ряду, то есть $$24(x+4)$$ мест.
По условию:
$$24(x+4)-22x=128.$$
$$24x+96-22x=128$$
$$2x=32$$
$$x=16.$$
Тогда стало:
$$24\cdot 20=480.$$
Пусть надо добавить $$x$$ г соли. Тогда масса нового раствора равна $$200+x$$ г.
Масса соли в исходном растворе:
$$200\cdot 0{,}1=20 \text{ г}.$$
Составим уравнение:
$$20+x=0{,}2(200+x).$$
$$20+x=40+0{,}2x$$
$$0{,}8x=20$$
$$x=25.$$
Пусть в каждом ряду было $$x$$ деревьев. Тогда первоначально в саду было $$140x$$ деревьев.
После расширения стало $$300$$ рядов и $$x+5$$ деревьев в каждом ряду, то есть $$300(x+5)$$ деревьев.
По условию:
$$300(x+5)-140x=11100.$$
$$300x+1500-140x=11100$$
$$160x=9600$$
$$x=60.$$
Тогда стало:
$$300\cdot 65=19500.$$
Через $$x$$ ч в первом резервуаре будет:
$$380+80x,$$
а во втором:
$$1500-60x.$$
По условию эти количества равны:
$$380+80x=1500-60x.$$
$$140x=1120$$
$$x=8.$$
Пусть собственная скорость теплохода равна $$x$$ км/ч. Тогда по течению его скорость $$x+2$$ км/ч, а против течения — $$x-2$$ км/ч.
За 9 ч по течению он проходит:
$$9(x+2),$$
а за 11 ч против течения:
$$11(x-2).$$
Составим уравнение:
$$9(x+2)=11(x-2).$$
$$9x+18=11x-22$$
$$40=2x$$
$$x=20.$$