Упр.594 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

Путник!
Здесь прах погребён Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло счастливое детство.
Двенадцатая часть протекла его жизни —
Пухом покрылся его подбородок.
Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.
Прошло пятилетье,
Он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца — сына,
Коему рок половину лишь жизни
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой
Старец земного удела конец воспринял,
Переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
С ней расстался мудрец?
Решите задачу арифметически (используя делимость) и составлением уравнения. Какой способ решения задачи проще?

Подробный ответ

Первый способ.

Так как в условии встречаются дроби $$\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{7}, \frac{1}{2},$$ то возраст Диофанта должен делиться на числа $$6, 12, 7, 2.$$

Найдём наименьшее общее кратное этих чисел:

$$\operatorname{НОК}(6,12,7,2)=84.$$

Проверим: при возрасте $$84$$ года все указанные части жизни выражаются целыми числами, и это подходит по условию задачи.

Второй способ.

Пусть Диофант прожил $$x$$ лет. Тогда по условию:

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4=x.$$

Умножим обе части на $$84$$:

$$14x+7x+12x+5\cdot 84+42x+4\cdot 84=84x.$$

$$75x+420+336=84x.$$

$$84x-75x=756.$$

$$9x=756.$$

$$x=84.$$