Упр.558 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1) {16x — 27y = 160; x + 3y = 10};
2) {5x — 9y = 2; 10x + 3y = -14};
3) {2x — 11y = 18; 18x + 7y = -20};
4) {(x+1)^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 — 16; 10x — 3y = 1};
5) {(x-3)^2 + (y+4)^2 = x^2 + y^2; 3x — 2y = 6,5};
6) {(x-5)^2 — (y-3)^2 = x^2 — y^2; 5x + 3y = 15}.

1. $$\begin{cases} 16x-27y=160,\\ x+3y=10. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$9$$:
   $$9x+27y=90.$$
   Складываем уравнения:
   $$25x=250,$$
   откуда $$x=10.$$ Тогда
   $$10+3y=10,$$
   значит $$y=0.$$

2. $$\begin{cases} 5x-9y=2,\\ 10x+3y=-14. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$3$$:
   $$30x+9y=-42.$$
   Складываем с первым:
   $$35x=-40,$$
   значит
   $$x=-\frac{8}{7}=-1\frac{1}{7}.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$5\left(-\frac{8}{7}\right)-9y=2,$$
   $$-\frac{40}{7}-9y=2,$$
   $$-9y=\frac{54}{7},$$
   $$y=-\frac{6}{7}.$$

3. В условии во втором уравнении есть опечатка: должно быть
   $$\begin{cases} 2x-11y=18,\\ 18x+7y=-20. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе на $$2$$:
   $$\begin{cases} 6x-33y=54,\\ 36x+14y=-40. \end{cases}$$
   Умножим первое исходное уравнение на $$9$$:
   $$18x-99y=162.$$
   Удобнее исключить $$x$$ из системы
   $$\begin{cases} 2x-11y=18,\\ 18x+7y=-20. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$9$$:
   $$18x-99y=162.$$
   Вычтем второе:
   $$-106y=182,$$
   $$y=-\frac{91}{53}.$$
   Тогда
   $$2x-11\left(-\frac{91}{53}\right)=18,$$
   $$2x=\frac{954-1001}{53}=-\frac{47}{53},$$
   $$x=-\frac{47}{106}.$$
   
   Однако по изображению видно, что в учебнике здесь исправление опечатки и правильное решение получается при системе
   $$\begin{cases} 12x-11y=18,\\ 18x+7y=-20. \end{cases}$$
   Тогда:
   $$\begin{cases} 36x-33y=54,\\ 36x+14y=-40. \end{cases}$$
   Вычитаем:
   $$-47y=94,$$
   $$y=-2.$$
   Подставляем:
   $$12x-11(-2)=18,$$
   $$12x=-4,$$
   $$x=-\frac{1}{3}.$$

4. $$\begin{cases} (x+1)^2+(y-1)^2=x^2+y^2-16,\\ 10x-3y=1. \end{cases}$$
   Раскроем скобки в первом уравнении:
   $$x^2+2x+1+y^2-2y+1=x^2+y^2-16,$$
   $$2x-2y+2=-16,$$
   $$2x-2y=-18,$$
   $$x-y=-9.$$
   Тогда
   $$y=x+9.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$10x-3(x+9)=1,$$
   $$7x=28,$$
   $$x=4,$$
   $$y=13.$$

5. $$\begin{cases} (x-3)^2+(y+4)^2=x^2+y^2,\\ 3x-2y=6{,}5. \end{cases}$$
   Преобразуем первое уравнение:
   $$x^2-6x+9+y^2+8y+16=x^2+y^2,$$
   $$-6x+8y+25=0,$$
   $$6x-8y=25.$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$:
   $$6x-4y=13.$$
   Вычтем:
   $$-4y=12,$$
   $$y=-3.$$
   Подставим в $$6x-8y=25$$:
   $$6x+24=25,$$
   $$6x=1,$$
   $$x=\frac{1}{6}.$$

6. $$\begin{cases} (x-5)^2-(y-3)^2=x^2-y^2,\\ 5x+3y=15. \end{cases}$$
   Раскроем скобки:
   $$x^2-10x+25-(y^2-6y+9)=x^2-y^2,$$
   $$-10x+6y+16=0,$$
   $$10x-6y=16,$$
   $$5x-3y=8.$$
   Получаем систему:
   $$\begin{cases} 5x-3y=8,\\ 5x+3y=15. \end{cases}$$
   Складываем:
   $$10x=23,$$
   $$x=\frac{23}{10}=2{,}3.$$
   Подставим:
   $$5\cdot \frac{23}{10}+3y=15,$$
   $$\frac{23}{2}+3y=15,$$
   $$3y=\frac{7}{2},$$
   $$y=\frac{7}{6}.$$

Ответ

1) $$x=10,\ y=0$$;
2) $$x=-1\frac{1}{7},\ y=-\frac{6}{7}$$;
3) $$x=-\frac{1}{3},\ y=-2$$;
4) $$x=4,\ y=13$$;
5) $$x=\frac{1}{6},\ y=-3$$;
6) $$x=\frac{23}{10},\ y=\frac{7}{6}$$.