Упр.550 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

Задуманы четыре однозначных числа. Умножьте первое из них на 2 и прибавьте 5, результат умножьте на 5 и прибавьте 10 и второе число; полученный результат умножьте на 10 и прибавьте третье число; новый результат умножьте на 10 и прибавьте четвёртое число. Из последнего результата нужно вычесть 3500, тогда полученная разность есть число, составленное из четырёх цифр, обозначающих по порядку задуманные числа.
1) Проверьте данное утверждение на конкретных числах.
2) Докажите данное утверждение для произвольных однозначных чисел.

Подробный ответ

1) Проверим утверждение на числах $$3, 5, 7, 9$$.

$$ \begin{aligned} &((((3\cdot 2+5)\cdot 5+10+5)\cdot 10+7)\cdot 10+9)-3500 \\ &=((((11\cdot 5+15)\cdot 10+7)\cdot 10+9)-3500 \\ &=(((70\cdot 10+7)\cdot 10+9)-3500 \\ &=(707\cdot 10+9)-3500 \\ &=7079-3500=3579. \end{aligned} $$
Получили число, составленное из задуманных цифр.

2) Пусть задуманные числа равны $$m, n, k, l$$.

$$ \begin{aligned} &((((m\cdot 2+5)\cdot 5+10+n)\cdot 10+k)\cdot 10+l)-3500 \\ &=((((2m+5)\cdot 5+10+n)\cdot 10+k)\cdot 10+l)-3500 \\ &=(((10m+25+10+n)\cdot 10+k)\cdot 10+l)-3500 \\ &=(((10m+35+n)\cdot 10+k)\cdot 10+l)-3500 \\ &=((100m+350+10n+k)\cdot 10+l)-3500 \\ &=(1000m+3500+100n+10k+l)-3500 \\ &=1000m+100n+10k+l. \end{aligned} $$

Это и есть число, составленное из цифр $$m, n, k, l$$ по порядку.