Упр.548 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача из «Арифметики» таджикского учёного X—XI вв. Ибн Сины. Если число, будучи разделено на $$9$$, даёт в остатке $$1$$ или $$8$$, то квадрат этого числа, делённый на $$9$$, даёт в остатке $$1$$. Докажите это свойство.

Если число при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$, то его можно записать в виде $$9n+1.$$ Тогда

$$(9n+1)^2=81n^2+18n+1=9(9n^2+2n)+1.$$

Значит, квадрат этого числа при делении на $$9$$ также даёт остаток $$1$$.

Если число при делении на $$9$$ даёт остаток $$8$$, то его можно записать в виде $$9n+8.$$ Тогда

$$(9n+8)^2=81n^2+144n+64=81n^2+144n+63+1=9(9n^2+16n+7)+1.$$

Следовательно, квадрат этого числа при делении на $$9$$ тоже даёт остаток $$1$$.

Что и требовалось доказать.

Ответ

Если число при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$ или $$8$$, то его квадрат при делении на $$9$$ даёт остаток $$1$$.