Упр.548 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Муравин, Муравина 7 класс, Дрофа: 548. Задача из «Арифметики» таджикского учёного X—XI вв. Ибн Сины. Если число, будучи разделено на 9, даёт в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, делённый на 9, даёт в остатке 1. Докажите это свойство. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 muravin7 548 715

Если число при делении на $9$ даёт остаток $1$, то его можно записать в виде $$9n+1.$$ Тогда

$$ (9n+1)^2=81n^2+18n+1=9(9n^2+2n)+1. $$

Значит, квадрат этого числа при делении на $9$ также даёт остаток $1$.

Если число при делении на $9$ даёт остаток $8$, то его можно записать в виде $$9n+8.$$ Тогда

$$ (9n+8)^2=81n^2+144n+64=81n^2+144n+63+1=9(9n^2+16n+7)+1. $$

Следовательно, квадрат этого числа при делении на $9$ тоже даёт остаток $1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ

Если число при делении на $9$ даёт остаток $1$ или $8$, то его квадрат при делении на $9$ даёт остаток $1$.