Упр.546 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1) если натуральное число не делится на 3, то разность его квадрата и единицы делится на 3;
2) разность квадратов двух нечётных чисел делится на 8;
3) произведение квадрата натурального числа и числа, предшествующего этому квадрату, делится на 12;
4) если n — простое число, большее чем 3, то n^2 — 1 делится на 24;
5) сумма квадратов трёх последовательных натуральных чисел не делится на 3;
6) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5, но не делится на 20.

1. Если натуральное число не делится на 3, то его можно записать в виде $$3n+1$$ или $$3n+2$$.

   Тогда

   $$ (3n+1)^2-1=9n^2+6n=3(3n^2+2n), $$

   и

   $$ (3n+2)^2-1=9n^2+12n+3=3(3n^2+4n+1). $$

   В обоих случаях разность делится на 3.

2. Пусть два нечётных числа имеют вид $$2m-1$$ и $$2n-1$$.

   Тогда

   $$ (2n-1)^2-(2m-1)^2 =4n^2-4n+1-(4m^2-4m+1) $$

   $$ =4(n^2-n-m^2+m) =4\bigl(n(n-1)-m(m-1)\bigr). $$

   Числа $$n$$ и $$n-1$$, $$m$$ и $$m-1$$ — соседние, значит, одно из них чётное. Поэтому каждое из произведений $$n(n-1)$$ и $$m(m-1)$$ делится на 2, а значит, всё выражение делится на $$4\cdot 2=8$$.

3. Пусть натуральное число равно $$n$$. Тогда произведение квадрата этого числа и числа, предшествующего квадрату, равно

   $$ n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1)=n\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n+1). $$

   Среди трёх последовательных чисел $$n-1$$, $$n$$, $$n+1$$ одно делится на 3, а среди чисел $$n-1$$ и $$n+1$$ одно чётное. Значит, в произведении есть множитель 3 и не менее двух множителей 2, поэтому оно делится на $$12$$.

4. Если $$n>3$$ — простое число, то оно нечётное и не делится на 3. Следовательно, $$n$$ можно записать в виде $$6k-1$$ или $$6k+1$$.

   Если $$n=6k+1$$, то

   $$ n^2-1=(6k+1)^2-1=36k^2+12k=12k(3k+1). $$

   Если $$n=6k-1$$, то

   $$ n^2-1=(6k-1)^2-1=36k^2-12k=12k(3k-1). $$

   В обоих случаях число $$n^2-1$$ делится на 24, так как среди множителей есть число $$12k$$, а выражение $$3k\pm1$$ при подходящем чётности $$k$$ даёт ещё один множитель 2.

5. Пусть даны три последовательных натуральных числа: $$x$$, $$x+1$$, $$x+2$$.

   Тогда сумма их квадратов равна

   $$ x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 =x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4 $$

   $$ =3x^2+6x+5=3(x^2+2x+1)+2. $$

   Остаток при делении на 3 равен 2, значит, сумма квадратов не делится на 3.

6. Пусть даны пять последовательных натуральных чисел: $$x-2$$, $$x-1$$, $$x$$, $$x+1$$, $$x+2$$.

   Тогда

   $$ (x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 $$

   $$ =x^2-4x+4+x^2-2x+1+x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4 $$

   $$ =5x^2+10=5(x^2+2), $$

   поэтому сумма делится на 5.

   Проверим делимость на 20. Если $$x=2m$$, то

   $$ x^2+2=4m^2+2, $$

   а это число не делится на 4. Если $$x=2m+1$$, то

   $$ x^2+2=(2m+1)^2+2=4m^2+4m+3, $$

   и это тоже не делится на 4. Значит, $$x^2+2$$ не делится на 4, следовательно, $$5(x^2+2)$$ не делится на 20.

Ответ

1) делится на 3; 2) делится на 8; 3) делится на 12; 4) делится на 24; 5) не делится на 3; 6) делится на 5, но не делится на 20.