Упр.542 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Разложите на множители:

1. $$3a^2-a-b-3b^2$$
2. $$5x^2+2x+2y-5y^2$$
3. $$a^3+a-5b-25b^2$$
4. $$4x^2-2x+3y-9y^2$$
5. $$4(6a-5b)^2-36a^2+25b^2$$
6. $$(2x+3y)^2-20x^2+45y^2$$
7. $$a^2+2ab+b^2-81c^2$$
8. $$x^2-2xy+y^2-100z^2$$
9. $$(ax-by)^2-(bx-ay)^2$$
10. $$a^2(a-y)^2-b^2(b-y)^2$$
11. $$4(ay+bx)^2-(a^2-b^2-x^2+y^2)^2$$
12. $$(c^2-b^2+d^2-a^2)^2-4(ab-cd)^2$$

1. $$3a^2-a-b-3b^2=(3a^2-3b^2)-(a+b)=3(a^2-b^2)-(a+b)$$
   $$=3(a-b)(a+b)-(a+b)=(a+b)(3a-3b-1)$$

2. $$5x^2+2x+2y-5y^2=(5x^2-5y^2)+(2x+2y)$$
   $$=5(x^2-y^2)+2(x+y)=5(x-y)(x+y)+2(x+y)$$
   $$=(x+y)(5x-5y+2)$$

3. $$a^2+a-5b-25b^2=(a^2-25b^2)+(a-5b)$$
   $$=(a-5b)(a+5b)+(a-5b)=(a-5b)(a+5b+1)$$

4. $$4x^2-2x+3y-9y^2=(4x^2-9y^2)-(2x-3y)$$
   $$=(2x-3y)(2x+3y)-(2x-3y)$$
   $$=(2x-3y)(2x+3y-1)$$

5. $$4(6a-5b)^2-36a^2+25b^2=4(6a-5b)^2-(6a+5b)(6a-5b)$$
   $$=(6a-5b)\bigl(4(6a-5b)-(6a+5b)\bigr)$$
   $$=(6a-5b)(18a-25b)$$

6. $$\begin{aligned} (2x+3y)^2-20x^2+45y^2&=(2x+3y)^2-5(4x^2-9y^2)\\ &=(2x+3y)^2-5(2x-3y)(2x+3y)\\ &=(2x+3y)\bigl((2x+3y)-5(2x-3y)\bigr)\\ &=(2x+3y)(-8x+18y)\\ &=-2(2x+3y)(4x-9y) \end{aligned}$$

7. $$a^2+2ab+b^2-81c^2=(a+b)^2-(9c)^2$$
   $$=(a+b-9c)(a+b+9c)$$

8. $$x^2-2xy+y^2-100z^2=(x-y)^2-(10z)^2$$
   $$=(x-y-10z)(x-y+10z)$$

9. $$\begin{aligned} (ax-by)^2-(bx-ay)^2&=\bigl((ax-by)-(bx-ay)\bigr)\bigl((ax-by)+(bx-ay)\bigr)\\ &=(ax-by-bx+ay)(ax-by+bx-ay)\\ &=(a-b)(x+y)(a+b)(x-y)\\ &=(a^2-b^2)(x^2-y^2) \end{aligned}$$

10. $$\begin{aligned} a^2(a-y)^2-b^2(b-y)^2&=\bigl(a(a-y)-b(b-y)\bigr)\bigl(a(a-y)+b(b-y)\bigr)\\ &=(a^2-ay-b^2+by)(a^2-ay+b^2-by)\\ &=(a^2-b^2-ay+by)(a^2+b^2-ay-by)\\ &=(a-b)(a+b-y)(a^2+b^2-ay-by) \end{aligned}$$

11. $$\begin{aligned} 4(ay+bx)^2-(a^2-b^2-x^2+y^2)^2 &=\bigl(2(ay+bx)-(a^2-b^2-x^2+y^2)\bigr)\\ &\quad\cdot\bigl(2(ay+bx)+(a^2-b^2-x^2+y^2)\bigr)\\ &=\bigl((b+x)^2-(a-y)^2\bigr)\bigl((a+y)^2-(b-x)^2\bigr)\\ &=(b+x-a+y)(b+x+a-y)(a+y-b+x)(a+y+b-x) \end{aligned}$$

12. $$\begin{aligned} (c^2-b^2+d^2-a^2)^2-4(ab-cd)^2 &=\bigl(c^2-b^2+d^2-a^2-2(ab-cd)\bigr)\\ &\quad\cdot\bigl(c^2-b^2+d^2-a^2+2(ab-cd)\bigr)\\ &=\bigl((c+d)^2-(a+b)^2\bigr)\bigl((c-d)^2-(a-b)^2\bigr)\\ &=(c+d-a-b)(c+d+a+b)(c-d-a+b)(c-d+a-b) \end{aligned}$$

Ответ

1) $$(a+b)(3a-3b-1)$$;
2) $$(x+y)(5x-5y+2)$$;
3) $$(a-5b)(a+5b+1)$$;
4) $$(2x-3y)(2x+3y-1)$$;
5) $$(6a-5b)(18a-25b)$$;
6) $$-2(2x+3y)(4x-9y)$$;
7) $$(a+b-9c)(a+b+9c)$$;
8) $$(x-y-10z)(x-y+10z)$$;
9) $$(a^2-b^2)(x^2-y^2)$$;
10) $$(a-b)(a+b-y)(a^2+b^2-ay-by)$$;
11) $$(b+x-a+y)(b+x+a-y)(a+y-b+x)(a+y+b-x)$$;
12) $$(c+d-a-b)(c+d+a+b)(c-d-a+b)(c-d+a-b)$$