Упр.501 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

2) Найдите частное и остаток от деления числа 10! + 64 на 35.

Подробный ответ

1) В числе $$15! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 15$$ количество нулей на конце определяется числом пар $$2 \cdot 5$$. Пятёрок в произведении три: числа $$5$$, $$10$$ и $$15$$ дают три множителя $$5$$, а двоек больше, чем пятёрок. Значит, число $$15!$$ оканчивается тремя нулями.

2) Найдём частное и остаток от деления числа $$10! + 64$$ на $$35$$.

Так как

$$10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 35 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10),$$

то $$10!$$ делится на $$35$$ без остатка.

Кроме того,

$$64 = 35 \cdot 1 + 29.$$

Тогда

$$10! + 64 = 35 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10) + 35 \cdot 1 + 29$$

$$= 35 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 + 1) + 29.$$

Вычислим:

$$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 + 1 = 103681.$$

Значит, при делении $$10! + 64$$ на $$35$$ частное равно $$103681$$, а остаток равен $$29$$.