Упр.470 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

1) Найдите вероятность того, что через 5 с точка М окажется в точке: а) А (0; 5); б) B (4; 1).
2) Где с наибольшей вероятностью окажется точка М через 5 с? Чему эта вероятность равна?
3) С какой вероятностью точка М через 7 с попадёт в точку:
а) K (7; 0); в) L (0; 7); д) F (5; 2);
б) N (1; 6); г) E (2; 5); е) H (3; 4)?

Подробный ответ

За каждую секунду точка может сделать одно из двух равновероятных перемещений: вправо или вверх. Поэтому за $$n$$ секунд число всех возможных маршрутов равно $$2^n$$.

1) За $$5$$ секунд число всех маршрутов:

$$2^5=32.$$

а) В точку $$A(0;5)$$ можно попасть только одним способом: все 5 раз двигаться вверх. Тогда

$$P(A)=\frac{1}{32}.$$

б) В точку $$B(4;1)$$ нужно сделать 4 шага вправо и 1 шаг вверх. Число таких маршрутов равно

$$C_5^1=5.$$

Значит,

$$P(B)=\frac{5}{32}.$$

2) Через 5 секунд точка может оказаться в точках $$\left(0;5\right), \left(1;4\right), \left(2;3\right), \left(3;2\right), \left(4;1\right), \left(5;0\right).$$

Число маршрутов для этих точек равно соответственно:

$$C_5^0=1,\quad C_5^1=5,\quad C_5^2=10,\quad C_5^3=10,\quad C_5^4=5,\quad C_5^5=1.$$

Наибольшее число маршрутов равно $$10$$, значит, наиболее вероятно точка окажется в точках $$\left(2;3\right)$$ и $$\left(3;2\right).$$

Искомая вероятность:

$$P=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}.$$

3) За 7 секунд число всех маршрутов равно

$$2^7=128.$$

Если точка попадает в точку $$\left(x;y\right)$$, то число шагов вправо равно $$x$$, а число шагов вверх равно $$7-x$$. Поэтому вероятность равна

$$P=\frac{C_7^x}{128}.$$

Тогда:

а) $$K(7;0):$$

$$P(K)=\frac{C_7^7}{128}=\frac{1}{128}.$$