Упр.460 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

1) n! = 17(n — 1)!;
2) (4n + 10)! = 54(4n + 9)!;
3) (n + 2)! = 132n!;
4) (n + 1)! = 990(n — 2)!.

Подробный ответ

$$n! = 17(n-1)!$$
Так как $$n! = (n-1)!\cdot n$$, получаем:
$$ (n-1)!\cdot n = 17(n-1)! $$
При $$n>1$$ имеем $$ (n-1)! \neq 0 $$, значит:
$$n=17$$
$$ (4n+10)! = 54(4n+9)! $$
Так как $$ (4n+10)! = (4n+9)!\cdot(4n+10) $$, то:
$$ (4n+9)!\cdot(4n+10)=54(4n+9)! $$
При $$n>1$$ имеем $$ (4n+9)! \neq 0 $$, значит:
$$4n+10=54$$
$$4n=44$$
$$n=11$$
$$ (n+2)! = 132n! $$
Раскроем факториал:
$$ (n+2)! = n!(n+1)(n+2) $$
Тогда:
$$ n!(n+1)(n+2)=132n! $$
При $$n>1$$ имеем $$n!\neq 0$$, значит:
$$ (n+1)(n+2)=132 $$
$$ 11\cdot 12=132 $$
Следовательно, $$n+1=11$$ и $$n+2=12$$, откуда:
$$n=10$$
$$ (n+1)! = 990(n-2)! $$
Представим левую часть через $$ (n-2)! $$:
$$ (n+1)! = (n-2)!(n-1)n(n+1) $$
Тогда:
$$ (n-2)!(n-1)n(n+1)=990(n-2)! $$
При $$n>1$$ и существовании $$ (n-2)! $$ получаем:
$$ (n-1)n(n+1)=990 $$
Проверим разложение:
$$ 9\cdot 10\cdot 11=990 $$
Значит, $$n=10$$.