Упр.460 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Найдите натуральные корни уравнения, где $$n$$ — натуральное число, большее 1:
   1) $$n! = 17(n — 1)!$$;
   2) $$(4n + 10)! = 54(4n + 9)!$$;
   3) $$(n + 2)! = 132n!$$;
   4) $$(n + 1)! = 990(n — 2)!$$.

1. $$n! = 17(n-1)!$$

   Так как $$n! = (n-1)!\cdot n$$, получаем:

   $$(n-1)!\cdot n = 17(n-1)!$$

   При $$n>1$$ имеем $$(n-1)! \neq 0$$, значит:

   $$n=17$$

2. $$(4n+10)! = 54(4n+9)!$$

   Так как $$(4n+10)! = (4n+9)!\cdot(4n+10)$$, то:

   $$(4n+9)!\cdot(4n+10)=54(4n+9)!$$

   При $$n>1$$ имеем $$(4n+9)! \neq 0$$, значит:

   $$4n+10=54$$

   $$4n=44$$

   $$n=11$$

3. $$(n+2)! = 132n!$$

   Раскроем факториал:

   $$(n+2)! = n!(n+1)(n+2)$$

   Тогда:

   $$n!(n+1)(n+2)=132n!$$

   При $$n>1$$ имеем $$n!\neq 0$$, значит:

   $$(n+1)(n+2)=132$$

   $$11\cdot 12=132$$

   Следовательно, $$n+1=11$$ и $$n+2=12$$, откуда:

   $$n=10$$

4. $$(n+1)! = 990(n-2)!$$

   Представим левую часть через $$(n-2)!$$:

   $$(n+1)! = (n-2)!(n-1)n(n+1)$$

   Тогда:

   $$(n-2)!(n-1)n(n+1)=990(n-2)!$$

   При $$n>1$$ и существовании $$(n-2)!$$ получаем:

   $$(n-1)n(n+1)=990$$

   Проверим разложение:

   $$9\cdot 10\cdot 11=990$$

   Значит, $$n=10$$.

Ответ

1) $$n=17$$; 2) $$n=11$$; 3) $$n=10$$; 4) $$n=10$$.