Упр.457 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Делится ли $$10!$$ на: 1) $$10^2$$; 2) $$3^4$$; 3) $$5^2 \cdot 7^2$$; 4) $$2^8$$?

$$10!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10.$$

1. $$10^2=10\cdot10=(2\cdot5)\cdot10,$$ значит, в разложении $$10!$$ есть множители, образующие $$10^2$$. Следовательно, $$10!$$ делится на $$10^2$$.

2. $$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3.$$ В числе $$10!$$ множитель $$3$$ входит только три раза: $$3,6,9$$. Значит, на $$3^4$$ число $$10!$$ не делится.

3. $$5^2\cdot7^2=5\cdot5\cdot7\cdot7.$$ В произведении $$10!$$ есть только один множитель $$5$$ и один множитель $$7$$, поэтому на $$5^2\cdot7^2$$ число $$10!$$ не делится.

4. $$2^8=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2.$$ В разложении $$10!$$ двоек достаточно: $$2,4,6,8,10$$ дают больше восьми множителей $$2$$. Значит, $$10!$$ делится на $$2^8$$.

Ответ

1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да.