Упр.448 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

а) 8; б) 216; в) 1080; г) q =p_1^k_1 · р_2^_k2 · … · р_m^k_m,
где р_1, р_2, …, р_m — различные простые числа, k_1, k_2, …, …, k_m — некоторые натуральные числа (число 1 и само число включаются в число делителей)?
2) Что можно сказать о числах, которые имеют только: а) 2; б) 3 натуральных делителя?

1) Найдём количество натуральных делителей по разложению на простые множители.

Если число имеет вид $$n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \ldots \cdot p_m^{k_m},$$ то число его натуральных делителей равно $$ (k_1+1)(k_2+1)\cdot \ldots \cdot (k_m+1). $$

а) $$8=2^3.$$ Тогда число делителей равно $$3+1=4.$$

б) $$216=2^3\cdot 3^3.$$ Тогда число делителей равно $$ (3+1)(3+1)=16. $$

в) $$1080=2^3\cdot 3^3\cdot 5.$$ Тогда число делителей равно $$ (3+1)(3+1)(1+1)=32. $$

г) Для числа $$q=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \ldots \cdot p_m^{k_m}$$ число натуральных делителей равно

$$ (k_1+1)(k_2+1)\cdot \ldots \cdot (k_m+1). $$

2) Рассмотрим числа, имеющие заданное число натуральных делителей.

а) Если число имеет только 2 натуральных делителя, то оно делится только на 1 и на само себя. Значит, это простое число.

б) Если число имеет только 3 натуральных делителя, то оно имеет вид $$p^2,$$ где $$p$$ — простое число. Действительно, делителями числа $$p^2$$ являются $$1,\ p,\ p^2,$$ то есть всего 3 делителя.

Ответ

1) а) 4; б) 16; в) 32; г) $$ (k_1+1)(k_2+1)\cdot \ldots \cdot (k_m+1). $$

2) а) простые числа; б) квадраты простых чисел.