Упр.448 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)
- Сколько натуральных делителей, считая само число, имеет:
а) 8;
б) 216;
в) 1080;
г) $$q=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot\ldots\cdot p_m^{k_m}$$, где $$p_1,p_2,\ldots,p_m$$ — различные простые числа, $$k_1,k_2,\ldots,k_m$$ — некоторые натуральные числа (число 1 и само число включаются в число делителей)? - Что можно сказать о числах, которые имеют только:
а) 2;
б) 3 натуральных делителя?
1) Найдём количество натуральных делителей по разложению на простые множители.
Если число имеет вид $$n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \ldots \cdot p_m^{k_m},$$ то число его натуральных делителей равно $$(k_1+1)(k_2+1)\cdot \ldots \cdot (k_m+1).$$
а) $$8=2^3.$$ Тогда число делителей равно $$3+1=4.$$
б) $$216=2^3\cdot 3^3.$$ Тогда число делителей равно $$(3+1)(3+1)=16.$$
в) $$1080=2^3\cdot 3^3\cdot 5.$$ Тогда число делителей равно $$(3+1)(3+1)(1+1)=32.$$
г) Для числа $$q=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \ldots \cdot p_m^{k_m}$$ число натуральных делителей равно
$$(k_1+1)(k_2+1)\cdot \ldots \cdot (k_m+1).$$
2) Рассмотрим числа, имеющие заданное число натуральных делителей.
а) Если число имеет только 2 натуральных делителя, то оно делится только на 1 и на само себя. Значит, это простое число.
б) Если число имеет только 3 натуральных делителя, то оно имеет вид $$p^2,$$ где $$p$$ — простое число. Действительно, делителями числа $$p^2$$ являются $$1,\ p,\ p^2,$$ то есть всего 3 делителя.
Ответ
1) а) 4; б) 16; в) 32; г) $$(k_1+1)(k_2+1)\cdot \ldots \cdot (k_m+1).$$
2) а) простые числа; б) квадраты простых чисел.
