Упр.422 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Докажите тождество из книги Л. Эйлера «Универсальная арифметика» (1768): $$\left(a^2+bc^2\right)\left(d^2+bk^2\right)=\left(ad+bck\right)^2+b\left(ak-cd\right)^2$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$(a^2+bc^2)(d^2+bk^2)=a^2d^2+a^2bk^2+bc^2d^2+b^2c^2k^2.$$

Преобразуем правую часть:

$$(ad+bck)^2+b(ak-cd)^2=$$

$$=a^2d^2+2ab cdk+b^2c^2k^2+b(a^2k^2-2acdk+c^2d^2).$$

Раскроем скобки:

$$=a^2d^2+2ab cdk+b^2c^2k^2+a^2bk^2-2ab cdk+bc^2d^2.$$

Сократим противоположные слагаемые:

$$a^2d^2+a^2bk^2+bc^2d^2+b^2c^2k^2.$$

Получили ту же самую сумму, что и в левой части. Значит, равенство верно при любых значениях переменных, то есть это тождество.

Ответ

$$(a^2+bc^2)(d^2+bk^2)=(ad+bck)^2+b(ak-cd)^2$$
— тождество.