Упр.421 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1) Докажите тождество
(ас + bd)^2 + (ad — bc)^2 = (а^2 + b^2)(c^2 — d^2).
2) Воспользуйтесь тождеством Диофанта для разложения на множители многочлена:
а) (3с + 7d)^2 + (3d — 7с)^2;
б) (5a + 2/3 b)^2 + (5a — 2/3 b)^2.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$ (ac+bd)^2+(ad-bc)^2= a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2. $$

Сократим подобные слагаемые:

$$ a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2. $$

Вынесем общий множитель:

$$ (a^2+b^2)(c^2+d^2). $$

Значит, тождество верно:

$$ (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2). $$

2) Используем это тождество для разложения на множители.

а)

$$ (3c+7d)^2+(3d-7c)^2=(3^2+7^2)(c^2+d^2)=58(c^2+d^2). $$

б)

$$ \left(5a+\frac{2}{3}b\right)^2+\left(5a-\frac{2}{3}b\right)^2 =\left(5^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)(a^2+b^2) $$

$$ =\left(25+\frac{4}{9}\right)(a^2+b^2)=\frac{229}{9}(a^2+b^2). $$

Ответ

1) $$ (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2). $$

2) а) $$ 58(c^2+d^2); $$ б) $$ \frac{229}{9}(a^2+b^2). $$