Упр.421 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2-d^2\right).$$
2. Воспользуйтесь тождеством Диофанта для разложения на множители многочлена:
   а) $$\left(3c+7d\right)^2+\left(3d-7c\right)^2$$;
   б) $$\left(5a+\frac{2}{3}b\right)^2+\left(5a-\frac{2}{3}b\right)^2$$.

1) Раскроем скобки в левой части:

$$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2= a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2.$$

Сократим подобные слагаемые:

$$a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2.$$

Вынесем общий множитель:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2).$$

Значит, тождество верно:

$$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2).$$

2) Используем это тождество для разложения на множители.

а)

$$(3c+7d)^2+(3d-7c)^2=(3^2+7^2)(c^2+d^2)=58(c^2+d^2).$$

б)

$$\left(5a+\frac{2}{3}b\right)^2+\left(5a-\frac{2}{3}b\right)^2 =\left(5^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)(a^2+b^2)$$

$$=\left(25+\frac{4}{9}\right)(a^2+b^2)=\frac{229}{9}(a^2+b^2).$$

Ответ

1) $$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2).$$

2) а) $$58(c^2+d^2);$$ б) $$\frac{229}{9}(a^2+b^2).$$