Упр.418 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при любых натуральных значениях $$m$$ и $$n$$, кроме $$m=n=1$$, число: 1) $$m^4+4n^4$$ — составное; 2) $$4m^4+n^8$$ — составное.

1) Преобразуем выражение:

$$m^4+4n^4=m^4+4m^2n^2-4m^2n^2+4n^4$$
$$=(m^2+2n^2)^2-(2mn)^2$$
$$=(m^2+2n^2-2mn)(m^2+2n^2+2mn)$$
$$=((m-n)^2+n^2)\,((m+n)^2+n^2).$$

При натуральных $$m$$ и $$n$$, кроме случая $$m=n=1$$, оба множителя больше $$1$$. Значит, число $$m^4+4n^4$$ составное.

2) Аналогично:

$$4m^4+n^8=4m^4+4m^2n^4+n^8-4m^2n^4$$
$$=(2m^2+n^4)^2-(2mn^2)^2$$
$$=(2m^2+n^4-2mn^2)(2m^2+n^4+2mn^2)$$
$$=(m^2-2mn^2+n^4+m^2)(m^2+2mn^2+n^4+m^2)$$
$$=((m-n^2)^2+m^2)\,((m+n^2)^2+m^2).$$

При натуральных $$m$$ и $$n$$, кроме случая $$m=n=1$$, оба множителя больше $$1$$. Следовательно, число $$4m^4+n^8$$ составное.

Ответ

1) $$m^4+4n^4$$ — составное число.
2) $$4m^4+n^8$$ — составное число.