Упр.408 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Докажите, что:

1. $$263^2-184^2$$ делится на $$79$$;
2. $$37^2+2\cdot37\cdot63+63^2$$ делится на $$10^4$$;
3. $$2^{10}-2^6\cdot3+3^2$$ делится на $$29^2$$;
4. $$11^{10}-11^9+11^8$$ делится на $$111$$.

1. $$263^2-184^2=(263-184)(263+184)=79\cdot 447.$$
   Значит, выражение делится на $$79$$.

2. $$37^2+2\cdot 37\cdot 63+63^2=(37+63)^2=100^2=(10^2)^2=10^4.$$
   Следовательно, выражение делится на $$10^4$$.

3. $$2^{10}-2^6\cdot 3+3^2=(2^5)^2-2\cdot 2^5\cdot 3+3^2=(2^5-3)^2.$$
   Тогда
   $$(2^5-3)^2=(32-3)^2=29^2,$$
   значит, выражение делится на $$29^2$$.

4. $$11^{10}-11^9+11^8=11^8(11^2-11+1)=11^8(121-10)=11^8\cdot 111.$$
   Следовательно, выражение делится на $$111$$.

Ответ

1) делится на $$79$$; 2) делится на $$10^4$$; 3) делится на $$29^2$$; 4) делится на $$111$$.