Упр.407 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

а) а^2 + 4а + 4; б) (2b — 1)(2b + 1) — 3(5 — 4b).
2) Найдите наибольшее значение, которое может принять выражение:
а) 4b(5а — b) — (5а — 3)(5а + 3); б) 2аb — а^2- 2b^2 + 4b.
3) При каких значениях переменных достигаются эти значения?

1. 1) Найдите наименьшее значение.

   а) $$a^2+4a+4=(a+2)^2.$$

   Квадрат любого числа неотрицателен, значит наименьшее значение равно $$0$$.

   Оно достигается при $$a+2=0,$$ то есть при $$a=-2.$$

   б) $$ (2b-1)(2b+1)-3(5-4b)=4b^2-1-15+12b=4b^2+12b-16.$$

   Приведём к квадрату двучлена:

   $$4b^2+12b-16=(2b+3)^2-25.$$

   Следовательно, наименьшее значение равно $$-25.$$

   Оно достигается при $$2b+3=0,$$ то есть при $$b=-\frac{3}{2}.$$

2. 2) Найдите наибольшее значение.

   а) $$4b(5a-b)-(5a-3)(5a+3)=20ab-4b^2-(25a^2-9).$$

   $$20ab-4b^2-25a^2+9=-(25a^2-20ab+4b^2)+9=-(5a-2b)^2+9.$$

   Так как $$-(5a-2b)^2\le 0,$$ наибольшее значение равно $$9.$$

   Оно достигается при $$5a-2b=0,$$ то есть при $$5a=2b.$$

   б) $$2ab-a^2-2b^2+4b=-a^2+2ab-2b^2+4b.$$

   Сгруппируем и дополним до квадратов:

   $$-a^2+2ab-2b^2+4b=-(a-b)^2-(b^2-4b+4)+4=-(a-b)^2-(b-2)^2+4.$$

   Значит, наибольшее значение равно $$4.$$

   Оно достигается при $$a-b=0$$ и $$b-2=0,$$ то есть при $$a=2,\ b=2.$$

Ответ

1) а) $$0$$ при $$a=-2$$; б) $$-25$$ при $$b=-\frac{3}{2}$$.

2) а) $$9$$ при $$5a=2b$$; б) $$4$$ при $$a=2,\ b=2$$.