Упр.403 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. С помощью рисунка 45 покажите, что для положительных значений переменных $$a$$, $$b$$ и $$c$$ верно равенство $$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$.
2. Используя формулу квадрата суммы, докажите, что данное равенство является тождеством.

1) Площадь квадрата со стороной $$a+b+c$$ равна $$\left(a+b+c\right)^2.$$

Если разбить этот квадрат на части, то получим три квадрата площадей $$a^2,$$ $$b^2,$$ $$c^2$$ и шесть прямоугольников площадей $$ab,$$ $$ac,$$ $$bc,$$ $$ab,$$ $$ac,$$ $$bc.$$ Тогда

$$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+ab+ab+ac+ac+bc+bc.$$

Соберём подобные слагаемые:

$$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$

2) По формуле квадрата суммы:

$$\left(a+b+c\right)^2=\left((a+b)+c\right)^2=(a+b)^2+2c(a+b)+c^2.$$

Раскроем скобки:

$$\left(a+b+c\right)^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2.$$

После перестановки слагаемых получаем:

$$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$

Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ

$$\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc,$$ это тождество.