Упр.402 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Найдите целые решения уравнения $$x^2 = 2(xy — y^2 — y)$$.

Преобразуем уравнение:

$$x^2=2(xy-y^2-y)$$

$$x^2=2xy-2y^2-2y$$

$$x^2-2xy+2y^2+2y=0$$

Добавим и вычтем $$y^2$$:

$$x^2-2xy+y^2+y^2+2y=0$$

$$(x-y)^2+(y^2+2y)=0$$

$$(x-y)^2+(y+1)^2=1$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то $$(x-y)^2$$ и $$(y+1)^2$$ — неотрицательные целые числа, сумма которых равна $$1$$. Значит, возможны только два случая:

1. $$(x-y)^2=0,\quad (y+1)^2=1$$

   Тогда $$x-y=0$$, а $$y+1=\pm 1$$.

   Если $$y+1=1$$, то $$y=0$$ и $$x=0$$.

   Если $$y+1=-1$$, то $$y=-2$$ и $$x=-2$$.

2. $$(x-y)^2=1,\quad (y+1)^2=0$$

   Тогда $$y=-1$$, а $$x-y=\pm 1$$.

   Если $$x-y=1$$, то $$x=0$$.

   Если $$x-y=-1$$, то $$x=-2$$.

Получаем целые решения:

$$(0,0),\; (-2,-2),\; (0,-1),\; (-2,-1).$$

Ответ

$$(0,0),\; (-2,-2),\; (0,-1),\; (-2,-1)$$