Упр.391 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$(2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2$$, которое позволяет получить бесконечно много прямоугольных треугольников, длины сторон которых являются натуральными числами.
2. Найдите несколько таких прямоугольных треугольников, придавая значения переменным $$m$$ и $$n$$.

1) Раскроем скобки в левой части тождества:

$$(2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = 4m^2n^2 + (m^4 — 2m^2n^2 + n^4)$$
$$= m^4 + 2m^2n^2 + n^4$$
$$= (m^2 + n^2)^2.$$

Следовательно,

$$(2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2,$$

что и требовалось доказать.

2) Подставим разные натуральные значения $$m$$ и $$n$$.

Если $$m=5$$, $$n=3$$, то:

$$(2\cdot 5 \cdot 3)^2 + (5^2 — 3^2)^2 = (5^2 + 3^2)^2$$
$$30^2 + 16^2 = 34^2.$$

Получаем прямоугольный треугольник со сторонами $$30$$, $$16$$ и $$34$$.

Если $$m=7$$, $$n=4$$, то:

$$(2\cdot 7 \cdot 4)^2 + (7^2 — 4^2)^2 = (7^2 + 4^2)^2$$
$$56^2 + 33^2 = 65^2.$$

Получаем прямоугольный треугольник со сторонами $$56$$, $$33$$ и $$65$$.

Можно взять и другие значения, например $$m=4$$, $$n=1$$:

$$(2\cdot 4 \cdot 1)^2 + (4^2 — 1^2)^2 = (4^2 + 1^2)^2$$
$$8^2 + 15^2 = 17^2.$$

Значит, стороны треугольника: $$8$$, $$15$$ и $$17$$.

Ответ

$$(2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2.$$
Примеры треугольников: $$30$$, $$16$$, $$34$$; $$56$$, $$33$$, $$65$$; $$8$$, $$15$$, $$17$$.