Упр.391 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1) Докажите тождество (2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2, которое позволяет получить бесконечно много прямоугольных треугольников, длины сторон которых являются натуральными числами.
2) Найдите несколько таких прямоугольных треугольников, придавая значения переменным m и n.

1) Раскроем скобки в левой части тождества:

$$ (2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = 4m^2n^2 + (m^4 — 2m^2n^2 + n^4) $$
$$ = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 $$
$$ = (m^2 + n^2)^2. $$

Следовательно,

$$ (2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2, $$

что и требовалось доказать.

2) Подставим разные натуральные значения $m$ и $n$.

Если $m=5$, $n=3$, то:

$$ (2\cdot 5 \cdot 3)^2 + (5^2 — 3^2)^2 = (5^2 + 3^2)^2 $$
$$ 30^2 + 16^2 = 34^2. $$

Получаем прямоугольный треугольник со сторонами $30$, $16$ и $34$.

Если $m=7$, $n=4$, то:

$$ (2\cdot 7 \cdot 4)^2 + (7^2 — 4^2)^2 = (7^2 + 4^2)^2 $$
$$ 56^2 + 33^2 = 65^2. $$

Получаем прямоугольный треугольник со сторонами $56$, $33$ и $65$.

Можно взять и другие значения, например $m=4$, $n=1$:

$$ (2\cdot 4 \cdot 1)^2 + (4^2 — 1^2)^2 = (4^2 + 1^2)^2 $$
$$ 8^2 + 15^2 = 17^2. $$

Значит, стороны треугольника: $8$, $15$ и $17$.

Ответ

$$ (2mn)^2 + (m^2 — n^2)^2 = (m^2 + n^2)^2. $$
Примеры треугольников: $30$, $16$, $34$; $56$, $33$, $65$; $8$, $15$, $17$.