Упр.390 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$a^2+b^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$$;
   2) $$(2a+b)^2+b^2=2\left(a^2+(a+b)^2\right)$$;
   3) $$\left(\frac{x}{k}\right)^2-\left(\frac{y}{k}\right)^2=\frac{1}{k^2}(x-y)(x+y)$$;
   4) $$(kx-ky)^2=k^2(x-y)^2$$.

1. Раскроем скобки в правой части:

   $$\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}=\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{2}=\frac{2a^2+2b^2}{2}=a^2+b^2.$$

   Тождество верно.

2. Раскроем скобки:

   $$(2a+b)^2+b^2=4a^2+4ab+b^2+b^2=4a^2+4ab+2b^2,$$

   $$2\bigl(a^2+(a+b)^2\bigr)=2\bigl(a^2+a^2+2ab+b^2\bigr)=4a^2+4ab+2b^2.$$

   Левая и правая части равны, значит тождество верно.

3. Используем формулу разности квадратов:

   $$\left(\frac{x}{k}\right)^2-\left(\frac{y}{k}\right)^2=\left(\frac{x}{k}-\frac{y}{k}\right)\left(\frac{x}{k}+\frac{y}{k}\right)=\frac{x-y}{k}\cdot\frac{x+y}{k}=\frac{1}{k^2}(x-y)(x+y).$$

   Тождество верно.

4. Вынесем общий множитель:

   $$(kx-ky)^2=\bigl(k(x-y)\bigr)^2=k^2(x-y)^2.$$

   Тождество верно.

Ответ

Все четыре равенства являются тождествами.