Упр.389 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Докажите, что при любом натуральном $$n$$ значение выражения:

1) $$(n+7)^2-n^2$$ делится на 7;

2) $$(4n+5)^2-9$$ делится на 8;

3) $$n^3-n$$ делится на 6.

1. $$(n+7)^2-n^2=((n+7)-n)\bigl((n+7)+n\bigr)=7(2n+7).$$
   Значит, выражение делится на $$7$$.

2. $$(4n+5)^2-9=(4n+5)^2-3^2=\bigl((4n+5)-3\bigr)\bigl((4n+5)+3\bigr)$$
   $$=(4n+2)(4n+8)=2(2n+1)\cdot 4(n+2)=8(2n+1)(n+2).$$
   Следовательно, выражение делится на $$8$$.

3. $$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1).$$
   Получили произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди них одно число делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Так как $$2$$ и $$3$$ взаимно просты, то произведение делится на $$2\cdot 3=6$$.

Ответ

$$(n+7)^2-n^2$$ делится на $$7$$; $$(4n+5)^2-9$$ делится на $$8$$; $$n^3-n$$ делится на $$6$$.