Упр.370 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)
Выберите формулу, которая поможет вам ответить на вопрос.
- Может ли квадрат суммы двух чисел оказаться меньше суммы их квадратов?
- Может ли разность квадратов двух натуральных чисел оказаться простым числом?
- Может ли квадрат разности двух чисел быть больше разности их квадратов?
- Может ли сумма квадратов двух отличных от нуля чисел быть равной квадрату их суммы?
- Может ли квадрат суммы двух неравных чисел быть меньше их удвоенного произведения?
Используем формулу:
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Тогда
$$(a+b)^2<a^2+b^2$$
равносильно неравенству
$$2ab<0$$
Это возможно, если числа $$a$$ и $$b$$ разных знаков.
Ответ: может.
Разность квадратов раскладывается так:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Чтобы это число было простым, достаточно, например, чтобы один множитель был равен $$1$$, а другой — простому числу.
Возьмём $$a=7$$, $$b=6$$. Тогда
$$a-b=1,\quad a+b=13$$
и
$$a^2-b^2=1\cdot 13=13$$
Это простое число.
Ответ: может.
Сравним выражения:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
Нужно, чтобы
$$(a-b)^2>a^2-b^2$$
то есть
$$a^2-2ab+b^2>a^2-b^2$$
$$-2ab+2b^2>0$$
$$2b(b-a)>0$$
Это возможно, например, при $$b>a$$.
Пусть $$a=3$$, $$b=5$$. Тогда
$$(3-5)^2=4,\quad 3^2-5^2=9-25=-16$$
и действительно
$$4>-16$$
Ответ: может.
Проверим равенство:
$$a^2+b^2=(a+b)^2$$
Подставим формулу:
$$a^2+b^2=a^2+2ab+b^2$$
Отсюда
$$2ab=0$$
значит, $$a=0$$ или $$b=0$$. Но по условию оба числа отличны от нуля.
Ответ: не может.
Сравним:
$$(a+b)^2<2ab$$
Но
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Тогда неравенство равносильно
$$a^2+b^2<0$$
А сумма квадратов не может быть отрицательной.
Ответ: не может.
Ответ
1) может; 2) может; 3) может; 4) не может; 5) не может.
