Упр.370 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Задача

1) Может ли квадрат суммы двух чисел оказаться меньше суммы их квадратов?
2) Может ли разность квадратов двух натуральных чисел оказаться простым числом?
3) Может ли квадрат разности двух чисел быть больше разности их квадратов?
4) Может ли сумма квадратов двух отличных от нуля чисел быть равной квадрату их суммы?
5) Может ли квадрат суммы двух неравных чисел быть меньше их удвоенного произведения?

Подробный ответ

Используем формулу:
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
Тогда
$$ (a+b)^2<a^2+b^2 $$
равносильно неравенству
$$ 2ab<0 $$
Это возможно, если числа $$a$$ и $$b$$ разных знаков.
Ответ: может.
Разность квадратов раскладывается так:
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
Чтобы это число было простым, достаточно, например, чтобы один множитель был равен $$1$$, а другой — простому числу.
Возьмём $$a=7$$, $$b=6$$. Тогда
$$ a-b=1,\quad a+b=13 $$
и
$$ a^2-b^2=1\cdot 13=13 $$
Это простое число.
Ответ: может.
Сравним выражения:
$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
Нужно, чтобы
$$ (a-b)^2>a^2-b^2 $$
то есть
$$ a^2-2ab+b^2>a^2-b^2 $$
$$ -2ab+2b^2>0 $$
$$ 2b(b-a)>0 $$
Это возможно, например, при $$b>a$$.
Пусть $$a=3$$, $$b=5$$. Тогда
$$ (3-5)^2=4,\quad 3^2-5^2=9-25=-16 $$
и действительно
$$ 4>-16 $$
Ответ: может.
Проверим равенство:
$$ a^2+b^2=(a+b)^2 $$
Подставим формулу:
$$ a^2+b^2=a^2+2ab+b^2 $$
Отсюда
$$ 2ab=0 $$
значит, $$a=0$$ или $$b=0$$. Но по условию оба числа отличны от нуля.
Ответ: не может.
Сравним:
$$ (a+b)^2<2ab $$
Но
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
Тогда неравенство равносильно
$$ a^2+b^2<0 $$
А сумма квадратов не может быть отрицательной.
Ответ: не может.