Упр.353 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)
Решите задачи, составляя уравнение или систему уравнений.
- Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что разность произведения двух больших и произведения двух меньших из этих чисел равна $$74$$.
- Найдите три последовательных натуральных числа, зная, что если из произведения двух больших чисел вычесть квадрат меньшего числа, то получится $$188$$.
- Периметр прямоугольника равен $$80\ \text{см}$$. Если его длину увеличить на $$4\ \text{см}$$, а ширину уменьшить на $$4\ \text{см}$$, то его площадь уменьшится на $$64\ \text{см}^2$$. Найдите длину и ширину прямоугольника.
- Периметр прямоугольника равен $$36\ \text{м}$$. Если его длину увеличить на $$1\ \text{м}$$, а ширину увеличить на $$2\ \text{м}$$, то получится прямоугольник, площадь которого больше площади первоначального прямоугольника на $$30\ \text{м}^2$$. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
- Картина вставлена в рамку, имеющую ширину $$1\ \text{дм}$$ и площадь $$54\ \text{дм}^2$$. Чему равна площадь картины без рамки, если длина картины на $$3\ \text{дм}$$ больше ширины?
- На участке, имеющем форму прямоугольника, одно из измерений которого на $$17\ \text{м}$$ больше другого, разбит прямоугольный газон, отстоящий от ограды на $$7\ \text{м}$$. Найдите площадь участка, если известно, что она больше площади газона на $$1414\ \text{м}^2$$.
Пусть четыре последовательных натуральных числа: $$n, n+1, n+2, n+3.$$
По условию:
$$(n+2)(n+3)-n(n+1)=74$$
$$n^2+5n+6-n^2-n=74$$
$$4n+6=74$$
$$4n=68$$
$$n=17$$
Значит, числа равны $$17, 18, 19, 20.$$
Пусть три последовательных натуральных числа: $$n, n+1, n+2.$$
Тогда:
$$(n+1)(n+2)-n^2=188$$
$$n^2+3n+2-n^2=188$$
$$3n+2=188$$
$$3n=186$$
$$n=62$$
Следовательно, числа: $$62, 63, 64.$$
Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ см, тогда ширина равна $$40-a$$ см, так как периметр равен $$80$$ см.
После изменения размеры станут: $$a+4$$ и $$36-a.$$
По условию площадь уменьшилась на $$64$$ см2:
$$a(40-a)-(a+4)(36-a)=64$$
$$40a-a^2-(36a-a^2+144-4a)=64$$
$$8a-144=64$$
$$8a=208$$
$$a=26$$
Тогда ширина:
$$40-26=14$$
Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ м, тогда ширина равна $$18-a$$ м, так как периметр равен $$36$$ м.
После увеличения размеры станут: $$a+1$$ и $$20-a.$$
По условию площадь увеличилась на $$30$$ м2:
$$(a+1)(20-a)-a(18-a)=30$$
$$20a-a^2+20-a-18a+a^2=30$$
$$a+20=30$$
$$a=10$$
Тогда ширина:
$$18-10=8$$
Пусть ширина картины равна $$a$$ дм, тогда длина равна $$a+3$$ дм.
С учётом рамки размеры внешнего прямоугольника: $$a+2$$ и $$a+5$$.
По условию площадь рамки равна $$54$$ дм2:
$$(a+2)(a+5)-a(a+3)=54$$
$$a^2+7a+10-a^2-3a=54$$
$$4a+10=54$$
$$4a=44$$
$$a=11$$
Тогда длина картины:
$$11+3=14$$
Площадь картины:
$$11\cdot 14=154$$
Пусть ширина участка равна $$a$$ м, тогда длина равна $$a+17$$ м.
Газон отстоит от ограды на $$7$$ м, значит его размеры равны $$a-14$$ и $$a+3$$.
По условию площадь участка больше площади газона на $$1414$$ м2:
$$a(a+17)-(a-14)(a+3)=1414$$
$$a^2+17a-(a^2-11a-42)=1414$$
$$28a+42=1414$$
$$28a=1372$$
$$a=49$$
Тогда длина участка:
$$49+17=66$$
Площадь участка:
$$49\cdot 66=3234$$
Ответ
1) $$17, 18, 19, 20$$; 2) $$62, 63, 64$$; 3) $$26$$ см и $$14$$ см; 4) $$10$$ м и $$8$$ м; 5) $$154$$ дм2; 6) $$3234$$ м2.
