Упр.353 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1) Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что разность произведения двух больших и произведения двух меньших из этих чисел равна 74.
2) Найдите три последовательных натуральных числа, зная, что если из произведения двух больших чисел вычесть квадрат меньшего числа, то получится 188.
3) Периметр прямоугольника равен 80 см. Если его длину увеличить на 4 см, а ширину уменьшить на 4 см, то его площадь уменьшится на 64 см^2. Найдите длину и ширину прямоугольника.
4) Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то получится прямоугольник, площадь которого больше площади первоначального прямоугольника на 30 м^2. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
5) Картина вставлена в рамку, имеющую ширину 1 дм и площадь 54 дм^2. Чему равна площадь картины без рамки, если длина картины на 3 дм больше ширины?
6) На участке, имеющем форму прямоугольника, одно из измерений которого на 17 м больше другого, разбит прямоугольный газон, отстоящий от ограды на 7 м. Найдите площадь участка, если известно, что она больше площади газона на 1414 м^2.

1. Пусть четыре последовательных натуральных числа: $$n, n+1, n+2, n+3.$$

   По условию:

   $$ (n+2)(n+3)-n(n+1)=74 $$

   $$ n^2+5n+6-n^2-n=74 $$

   $$ 4n+6=74 $$

   $$ 4n=68 $$

   $$ n=17 $$

   Значит, числа равны $$17, 18, 19, 20.$$

2. Пусть три последовательных натуральных числа: $$n, n+1, n+2.$$

   Тогда:

   $$ (n+1)(n+2)-n^2=188 $$

   $$ n^2+3n+2-n^2=188 $$

   $$ 3n+2=188 $$

   $$ 3n=186 $$

   $$ n=62 $$

   Следовательно, числа: $$62, 63, 64.$$

3. Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ см, тогда ширина равна $$40-a$$ см, так как периметр равен $$80$$ см.

   После изменения размеры станут: $$a+4$$ и $$36-a.$$

   По условию площадь уменьшилась на $$64$$ см²:

   $$ a(40-a)-(a+4)(36-a)=64 $$

   $$ 40a-a^2-(36a-a^2+144-4a)=64 $$

   $$ 8a-144=64 $$

   $$ 8a=208 $$

   $$ a=26 $$

   Тогда ширина:

   $$ 40-26=14 $$

4. Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ м, тогда ширина равна $$18-a$$ м, так как периметр равен $$36$$ м.

   После увеличения размеры станут: $$a+1$$ и $$20-a.$$

   По условию площадь увеличилась на $$30$$ м²:

   $$ (a+1)(20-a)-a(18-a)=30 $$

   $$ 20a-a^2+20-a-18a+a^2=30 $$

   $$ a+20=30 $$

   $$ a=10 $$

   Тогда ширина:

   $$ 18-10=8 $$

5. Пусть ширина картины равна $$a$$ дм, тогда длина равна $$a+3$$ дм.

   С учётом рамки размеры внешнего прямоугольника: $$a+2$$ и $$a+5$$.

   По условию площадь рамки равна $$54$$ дм²:

   $$ (a+2)(a+5)-a(a+3)=54 $$

   $$ a^2+7a+10-a^2-3a=54 $$

   $$ 4a+10=54 $$

   $$ 4a=44 $$

   $$ a=11 $$

   Тогда длина картины:

   $$ 11+3=14 $$

   Площадь картины:

   $$ 11\cdot 14=154 $$

6. Пусть ширина участка равна $$a$$ м, тогда длина равна $$a+17$$ м.

   Газон отстоит от ограды на $$7$$ м, значит его размеры равны $$a-14$$ и $$a+3$$.

   По условию площадь участка больше площади газона на $$1414$$ м²:

   $$ a(a+17)-(a-14)(a+3)=1414 $$

   $$ a^2+17a-(a^2-11a-42)=1414 $$

   $$ 28a+42=1414 $$

   $$ 28a=1372 $$

   $$ a=49 $$

   Тогда длина участка:

   $$ 49+17=66 $$

   Площадь участка:

   $$ 49\cdot 66=3234 $$

Ответ

1) $$17, 18, 19, 20$$; 2) $$62, 63, 64$$; 3) $$26$$ см и $$14$$ см; 4) $$10$$ м и $$8$$ м; 5) $$154$$ дм²; 6) $$3234$$ м².