Упр.265 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Докажите, что:

1. $$100\,002^4 > 9997^5$$;
2. $$31^{11} < 17^{14}$$.

1) Сравним числа $$100002^4$$ и $$9997^5$$.

Так как $$100002^4 > 100000^4,$$ а $$100000^4 = 10000^5,$$ то достаточно сравнить $$10000^5$$ и $$9997^5.$$

Поскольку $$10000 > 9997,$$ то при возведении в пятую степень получаем:

$$10000^5 > 9997^5.$$

Следовательно,

$$100002^4 > 9997^5.$$

Что и требовалось доказать.

2) Сравним числа $$31^{11}$$ и $$17^{14}.$$

Так как $$31^{11} < 32^{11},$$ а $$32^{11} = (2^5)^{11} = 2^{55},$$ то

$$31^{11} < 2^{55}.$$

Далее,

$$2^{55} < 2^{56},$$

а

$$2^{56} = (2^4)^{14} = 16^{14}.$$

Поскольку $$16 < 17,$$ то

$$16^{14} < 17^{14}.$$

Значит,

$$31^{11} < 17^{14}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$100002^4 > 9997^5,$$ $$31^{11} < 17^{14}.$$