Упр.260 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1) 8^7 — 2^18 делится на 14;
2) 5^21 + 25 · (5^3)^6 кратно 30;
3) 11 · 2^(n-1) + 5^(n-2) + 2^n + 5^n кратно 13;
4) 3^(n+2) — 2^(n+2) + 3^n — 2^n делится на 10.

1. $$8^7-2^{18}=(2^3)^7-2^{18}=2^{21}-2^{18}=2^{18}(2^3-1)=2^{18}\cdot 7=2^{17}\cdot 14.$$
   Значит, $$8^7-2^{18}$$ делится на $$14$$.

2. $$5^{21}+25\cdot(5^3)^6=5^{21}+5^2\cdot 5^{18}=5^{21}+5^{20}=5^{20}(5+1)=5^{20}\cdot 6=5^{19}\cdot 30.$$
   Значит, выражение кратно $$30$$.

3. $$11\cdot 2^{n-1}+5^{n-2}+2^n+5^n=(11\cdot 2^{n-1}+2^n)+(5^{n-2}+5^n).$$

   $$11\cdot 2^{n-1}+2^n=11\cdot 2^{n-1}+2\cdot 2^{n-1}=13\cdot 2^{n-1},$$
   $$5^{n-2}+5^n=5^{n-2}+25\cdot 5^{n-2}=26\cdot 5^{n-2}.$$

   Тогда
   $$11\cdot 2^{n-1}+5^{n-2}+2^n+5^n=13\cdot 2^{n-1}+26\cdot 5^{n-2}=13\bigl(2^{n-1}+2\cdot 5^{n-2}\bigr).$$
   Следовательно, выражение кратно $$13$$.

4. $$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=(3^{n+2}+3^n)-(2^{n+2}+2^n).$$

   $$3^{n+2}+3^n=3^n(3^2+1)=3^n\cdot 10,$$
   $$2^{n+2}+2^n=2^n(2^2+1)=2^n\cdot 5.$$

   Тогда
   $$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n\cdot 10-2^n\cdot 5=5(2\cdot 3^n-2^n).$$
   Так как
   $$2\cdot 3^n-2^n=2(3^n-2^{n-1}),$$
   то
   $$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=10(3^n-2^{n-1}).$$
   Значит, выражение делится на $$10$$.

Ответ

1) делится на $$14$$; 2) кратно $$30$$; 3) кратно $$13$$; 4) делится на $$10$$.