Упр.238 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

1. переносить только по одному диску;
2. не класть больший диск на меныший.
Предание гласит, что, как только жрецы перенесут всю пирамиду с исходного стержня на один из двух других, грянет гром, храм рассыплется в пыль и, вообще, наступит конец света. Математики подсчитали, что число р перемещений, которые нужно сделать для переноски пирамиды из n дисков, вычисляется по формуле р = 2^n — 1.
1) Проверьте эту формулу для n = 2 и n = 3.
2) Не вычисляя значения выражения 2^64 — 1, докажите, что оно кратно 5.
3) Если предположить, что жрецы за 1 с переносят один диск, то сколько примерно лет им потребуется на всю работу (считайте, что в месяце 30 дней)?

1) Проверим формулу $$p=2^n-1$$ для малых значений $$n$$.

При $$n=2$$:

$$p=2^2-1=4-1=3.$$

При $$n=3$$:

$$p=2^3-1=8-1=7.$$

Формула верна: для двух дисков нужно 3 перемещения, для трёх дисков — 7 перемещений.

2) Докажем, что $$2^{64}-1$$ кратно 5.

Разложим выражение на множители:

$$ 2^{64}-1=(2^{32}-1)(2^{32}+1) $$

Далее:

$$ 2^{32}-1=(2^{16}-1)(2^{16}+1) $$

$$ 2^{16}-1=(2^8-1)(2^8+1) $$

$$ 2^8-1=(2^4-1)(2^4+1) $$

$$ 2^4-1=16-1=15 $$

Значит,

$$ 2^{64}-1=15\cdot(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1). $$

Так как $$15$$ делится на $$5$$, то и всё произведение делится на $$5$$. Следовательно, $$2^{64}-1$$ кратно $$5$$.

3) Найдём, сколько времени потребуется на перенос 64 дисков.

Число перемещений:

$$ p=2^{64}-1=18446744073709551615. $$

Если за 1 секунду переносят 1 диск, то потребуется $$18446744073709551615$$ секунд.

Переведём в годы, считая, что в месяце 30 дней:

$$ 1\ \text{год}=12\cdot 30\cdot 24\cdot 60\cdot 60=31104000\ \text{с}. $$

Тогда

$$ \frac{18446744073709551615}{31104000}\approx 5.93\cdot 10^8. $$

То есть жрецам потребуется примерно $$593\,000\,000$$ лет, то есть около $$593$$ млн лет.

Ответ

1) $$3$$ и $$7$$. 2) $$2^{64}-1$$ кратно $$5$$. 3) Примерно $$593$$ млн лет.