Упр.238 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)
Существует легенда о том, что где-то в глубине джунглей в буддийском храме находится пирамида из 64 золотых дисков, нанизанных на вертикальный стержень. День и ночь жрецы храма переносят золотые диски с одного стержня на два других, строго соблюдая два правила:
- переносить только по одному диску;
- не класть больший диск на меньший.
Предание гласит, что, как только жрецы перенесут всю пирамиду с исходного стержня на один из двух других, грянет гром, храм рассыплется в пыль и, вообще, наступит конец света. Математики подсчитали, что число $$p$$ перемещений, которые нужно сделать для переноски пирамиды из $$n$$ дисков, вычисляется по формуле $$p=2^n-1$$.
- Проверьте эту формулу для $$n=2$$ и $$n=3$$.
- Не вычисляя значения выражения $$2^{64}-1$$, докажите, что оно кратно 5.
- Если предположить, что жрецы за 1 с переносят один диск, то сколько примерно лет им потребуется на всю работу (считайте, что в месяце 30 дней)?
1) Проверим формулу $$p=2^n-1$$ для малых значений $$n$$.
При $$n=2$$:
$$p=2^2-1=4-1=3.$$
При $$n=3$$:
$$p=2^3-1=8-1=7.$$
Формула верна: для двух дисков нужно 3 перемещения, для трёх дисков — 7 перемещений.
2) Докажем, что $$2^{64}-1$$ кратно 5.
Разложим выражение на множители:
$$2^{64}-1=(2^{32}-1)(2^{32}+1)$$
Далее:
$$2^{32}-1=(2^{16}-1)(2^{16}+1)$$
$$2^{16}-1=(2^8-1)(2^8+1)$$
$$2^8-1=(2^4-1)(2^4+1)$$
$$2^4-1=16-1=15$$
Значит,
$$2^{64}-1=15\cdot(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1).$$
Так как $$15$$ делится на $$5$$, то и всё произведение делится на $$5$$. Следовательно, $$2^{64}-1$$ кратно $$5$$.
3) Найдём, сколько времени потребуется на перенос 64 дисков.
Число перемещений:
$$p=2^{64}-1=18446744073709551615.$$
Если за 1 секунду переносят 1 диск, то потребуется $$18446744073709551615$$ секунд.
Переведём в годы, считая, что в месяце 30 дней:
$$1\ \text{год}=12\cdot 30\cdot 24\cdot 60\cdot 60=31104000\ \text{с}.$$
Тогда
$$\frac{18446744073709551615}{31104000}\approx 5.93\cdot 10^8.$$
То есть жрецам потребуется примерно $$593\,000\,000$$ лет, то есть около $$593$$ млн лет.
Ответ
1) $$3$$ и $$7$$. 2) $$2^{64}-1$$ кратно $$5$$. 3) Примерно $$593$$ млн лет.
