Упр.197 ГДЗ Муравин 7 класс (Алгебра)

Сколько решений имеет система:

1. 1) $$\begin{cases}2x+3y=5,\\ \frac{2}{5}x+\frac{3}{5}y=1\end{cases}$$; 2) $$\begin{cases}3x-y+2=0,\\ 3x-y+4=0\end{cases}$$; 3) $$\begin{cases}y=2x+3,\\ y=-2x-3\end{cases}$$; 4) $$\begin{cases}x=3y-5,\\ x=\frac{3y-5}{2}\end{cases}$$?

1. $$\begin{cases} 2x+3y=5,\\ \frac{2}{5}x+\frac{3}{5}y=1 \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$5$$:
   $$2x+3y=5.$$
   Получили два одинаковых уравнения, значит система имеет бесконечно много решений.
2. $$\begin{cases} 3x-y+2=0,\\ 3x-y+4=0 \end{cases}$$
   Преобразуем:
   $$\begin{cases} y=3x+2,\\ y=3x+4 \end{cases}$$
   Прямые параллельны, так как $$k_1=k_2=3$$, а свободные члены различны. Следовательно, система не имеет решений.
3. $$\begin{cases} y=2x+3,\\ y=-2x-3 \end{cases}$$
   Угловые коэффициенты различны: $$k_1=2$$, $$k_2=-2$$. Значит, прямые пересекаются в одной точке, и система имеет одно решение.
4. $$\begin{cases} x=3y-5,\\ x=\frac{3y-5}{2} \end{cases}$$
   Преобразуем:
   $$\begin{cases} x-3y=-5,\\ 2x=3y-5 \end{cases}$$
   Второе уравнение:
   $$2x-3y=-5.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x-3y=-5,\\ 2x-3y=-5 \end{cases}$$
   Угловые коэффициенты различны, значит система имеет одно решение.

Ответ

1) бесконечно много решений; 2) решений нет; 3) одно решение; 4) одно решение.