Ответы на вопросы Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
2. Что значит привести одночлен к стандартному виду?
3. Что называют степенью одночлена?
4. Какие одночлены называют подобными?
5. Опишите алгоритм сложения подобных одночленов.
6. Как выполнить умножение одночленов?
7. Как возвести одночлен в натуральную степень?
8. Как выполнить деление одночлена на одночлен? В каких случаях задание выполнить деление одночлена на одночлен будет некорректным?
9. Сформулируйте определение многочлена.
10. Что такое стандартный вид многочлена?
11. Что называют степенью многочлена?
12. Сформулируйте правило сложения и вычитания многочленов.
13. Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен.
14. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
15. Запишите и прочитайте формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.
16. Запишите и прочитайте формулу разности квадратов.
17. Запишите и прочитайте формулы суммы и разности кубов.
18. Сформулируйте правило деления многочлена на одночлен. В каком случае задание выполнить деление многочлена на одночлен будет некорректным?
Сформулируйте алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов.
2. Как разложить многочлен на множители с помощью вынесения множителя за скобки?
3. В чём суть разложения многочлена на множители способом группировки?
4. В чём заключается метод выделения полного квадрата?
5. Что такое алгебраическая дробь?
6. Что значит сократить алгебраическую дробь? Какие преобразования числителя и знаменателя надо выполнить, чтобы сократить алгебраическую дробь?
7. Что такое тождество? Что такое тождественное преобразование алгебраического выражения?
Одночленом называют число, переменную, степень переменной или алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел и переменных, возведённых в степень с натуральными показателями.
Привести одночлен к стандартному виду — значит с помощью преобразований представить его так, чтобы на первом месте стоял числовой множитель, а каждая переменная встречалась в записи один раз — в некоторой натуральной степени.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней переменных, входящих в состав одночлена.
Подобными называют два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях.
Алгоритм сложения подобных одночленов:
- Записать все заданные одночлены в стандартном виде.
- Проверить, что все одночлены подобны; если это так, переходить к следующему шагу.
- Найти сумму коэффициентов подобных одночленов.
- Записать ответ: одночлен, подобный данным, с коэффициентом, полученным на предыдущем шаге.
Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно перемножить их коэффициенты и одинаковые буквенные множители, затем привести полученный одночлен к стандартному виду.
Чтобы возвести одночлен в натуральную степень, нужно возвести в эту степень коэффициент и каждый буквенный множитель, после чего привести полученный одночлен к стандартному виду.
Чтобы выполнить деление одночлена на одночлен, надо разделить их коэффициенты и одинаковые буквенные множители.
Задание будет некорректным, если:
- в делителе есть переменные, которых нет в делимом;
- в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причём в делимом она возводится в степень $$n$$, а в делителе — в степень $$k$$ и $$n < k$$.
Многочлен — это сумма всех одночленов.
Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведён к стандартному виду.
Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в многочлен.
Для нахождения алгебраической суммы нескольких многочленов каждый из них заключают в скобки, затем раскрывают скобки и приводят подобные члены.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена поочерёдно умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$
квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение;
$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$
квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение.
Формула разности квадратов:
$$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $$
разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.
Формулы суммы и разности кубов:
$$ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 $$
разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы;
$$ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $$
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.
Задание будет некорректным, если:
- в делителе есть переменные, которых нет в делимом;
- в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причём в делимом она возводится в степень $$n$$, а в делителе — в степень $$k$$ и $$n < k$$.
Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов:
- Если коэффициенты всех одночленов — целые числа, найти их наибольший общий делитель; он будет общим числовым множителем.
- Для каждой переменной выбрать наименьший из имеющихся показателей степени.
- Общий множитель — это произведение коэффициента, найденного на первом шаге, и степеней, найденных на втором шаге. Этот общий множитель целесообразно вынести за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители с помощью вынесения множителя за скобки, надо найти общий множитель каждого из одночленов, входящих в многочлен, и вынести его за скобки; в скобках записать частное от деления каждого из одночленов на общий множитель.
Суть способа группировки состоит в том, чтобы объединить члены многочлена в группы так, чтобы после вынесения общего множителя за скобки в каждой группе в скобках остался один и тот же многочлен; затем этот многочлен выносят за скобки как общий множитель.
Метод выделения полного квадрата:
- прибавить к заданному многочлену то, чего не хватает, чтобы выделить полный квадрат, и тут же вычесть это же выражение, чтобы ничего не изменилось;
- выделить полный квадрат.
Алгебраической дробью называют выражение $$\frac{P}{Q}$$, где $$P$$ и $$Q$$ — многочлены; $$P$$ — числитель алгебраической дроби; $$Q$$ — знаменатель алгебраической дроби.
Сократить алгебраическую дробь — значит разделить одновременно числитель и знаменатель дроби на общий множитель; для этого надо разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
Тождеством называют равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.
Тождественным преобразованием выражения называют замену одного алгебраического выражения другим, тождественно равным ему.
Ответ
1) Одночлен — произведение чисел и переменных, возведённых в натуральные степени. 2) Привести к стандартному виду — записать с числовым множителем первым и без повторяющихся переменных. 3) Степень одночлена — сумма показателей степеней переменных. 4) Подобные одночлены — одночлены с одинаковой буквенной частью. 5) Сложить коэффициенты подобных одночленов. 6) Перемножить коэффициенты и буквенные множители. 7) Возвести в степень коэффициент и каждый множитель. 8) Разделить коэффициенты и одинаковые буквенные множители; некорректно, если в делителе есть отсутствующие в делимом переменные или показатель в делимом меньше, чем в делителе. 9) Многочлен — сумма одночленов. 10) Стандартный вид многочлена — все члены приведены и записаны в стандартном виде. 11) Степень многочлена — наибольшая степень его одночленов. 12) Сложение и вычитание многочленов выполняют через раскрытие скобок и приведение подобных членов. 13) Каждый член многочлена умножают на одночлен. 14) Каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. 15) $$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $$, $$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$. 16) $$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $$. 17) $$ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 $$, $$ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 $$. 18) Каждый член многочлена делят на одночлен; некорректно, если в делителе есть отсутствующие в делимом переменные или показатель в делимом меньше, чем в делителе. Общий множитель находят по НОД коэффициентов и наименьшим степеням переменных. Разложение на множители выполняют вынесением общего множителя, группировкой или выделением полного квадрата. Алгебраическая дробь — дробь вида $$\frac{P}{Q}$$. Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на общий множитель. Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях переменных; тождественное преобразование — замена выражения тождественно равным ему.
