Ответы на вопросы Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

2. Что является осью симметрии графика функции у = х^2, у = —х^2?
3. Какую точку называют вершиной параболы у = х^2, у = —х^2?
4. Как расположены относительно друг друга графики функций у = х^2, у = -х^2?
5. Перечислите свойства функций у = х^2, у = —х^2.
6. Сформулируйте алгоритм графического решения уравнения. Какое выражение называют одночленом?
2. Что значит привести одночлен к стандартному виду?
3. Что называют степенью одночлена?
4. Какие одночлены называют подобными?
5. Опишите алгоритм сложения подобных одночленов.
6. Как выполнить умножение одночленов?
7. Как возвести одночлен в натуральную степень?
8. Как выполнить деление одночлена на одночлен? В каких случаях задание выполнить деление одночлена на одночлен будет некорректным?
9. Сформулируйте определение многочлена.
10. Что такое стандартный вид многочлена?
11. Что называют степенью многочлена?
12. Сформулируйте правило сложения и вычитания многочленов.
13. Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен.
14. Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.
15. Запишите и прочитайте формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений.
16. Запишите и прочитайте формулу разности квадратов.
17. Запишите и прочитайте формулы суммы и разности кубов.
18. Сформулируйте правило деления многочлена на одночлен. В каком случае задание выполнить деление многочлена на одночлен будет некорректным?

1. График функции $$y=x^2$$ и $$y=-x^2$$ называют параболой.

   Ось симметрии этих графиков — ось $$Oy$$.

   Вершина параболы $$y=x^2$$ и $$y=-x^2$$ — точка $$\left(0;0\right)$$.

   Графики функций $$y=x^2$$ и $$y=-x^2$$ расположены симметрично относительно оси абсцисс.

   Свойства функции $$y=x^2$$:

   • область определения: $$(-\infty;+\infty)$$;
   • вершина параболы: $$\left(0;0\right)$$;
   • функция непрерывна;
   • $$y=0$$ при $$x=0$$;
   • $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
   • $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}$$ не существует;
   • функция возрастает при $$x\in[0;+\infty)$$ и убывает при $$x\in(-\infty;0]$$.

   Свойства функции $$y=-x^2$$:

   • область определения: $$(-\infty;+\infty)$$;
   • вершина параболы: $$\left(0;0\right)$$;
   • функция непрерывна;
   • $$y=0$$ при $$x=0$$;
   • $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
   • $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=0$$;
   • функция возрастает при $$x\in(-\infty;0]$$ и убывает при $$x\in[0;+\infty)$$.

   Алгоритм графического решения уравнения:

   1. рассмотреть функции;
   2. построить их в одной системе координат;
   3. найти точки их пересечения;
   4. абсциссы точек пересечения — это и есть корни заданного уравнения.

2. Одночленами называют числа, переменные, степени переменных и алгебраические выражения, представляющие собой произведение чисел и переменных, возведённых в степень с натуральными показателями.

   Привести одночлен к стандартному виду — значит с помощью преобразований представить его так, чтобы на первом месте стоял числовой множитель, а каждая переменная встречалась в записи один раз — в некоторой натуральной степени.

   Степенью одночлена называют сумму показателей степеней переменных, входящих в состав одночлена.

   Подобными называют одночлены, состоящие из одних и тех же переменных, каждая из которых входит в оба одночлена в одинаковых степенях.

   Алгоритм сложения одночленов:

   1. записать все заданные одночлены в стандартном виде;
   2. проверить, что все заданные одночлены подобны; если это так, то переходить к следующему шагу;
   3. найти сумму коэффициентов подобных одночленов;
   4. записать ответ: одночлен, подобный данным, с коэффициентом, полученным на третьем шаге.

   Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно перемножить их коэффициенты и одинаковые буквенные множители.

   Алгоритм возведения одночлена в натуральную степень:

   1. возвести в эту степень коэффициент и каждый буквенный множитель;
   2. привести полученный одночлен к стандартному виду.

   Чтобы выполнить деление одночлена на одночлен, надо разделить их коэффициенты и одинаковые буквенные множители.

   Задание выполнить деление одночлена на одночлен будет некорректным, если:

   • в делителе есть переменные, которых нет в делимом;
   • если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причём в делимом она возводится в степень $$n$$, а в делителе — в степень $$k$$ и $$n<k$$.

   Многочлен — сумма всех одночленов.

   Если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят, что многочлен приведён к стандартному виду.

   Степенью многочлена называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в многочлен.

   Для нахождения алгебраической суммы нескольких многочленов каждый из них заключают в скобки, затем раскрывают скобки и приводят подобные члены.

   Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить.

   Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена поочерёдно на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

   Формулы квадрата суммы и квадрата разности:

   $$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$$

   квадрат суммы двух выражений равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение.

   $$\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$$

   квадрат разности двух выражений равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение.

   Формула разности квадратов:

   $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$$

   разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.

   Формулы суммы и разности кубов:

   $$\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$$

   разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

   $$\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3$$

   сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

   Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.

   Задание выполнить деление многочлена на одночлен будет некорректным, если:

   • в делителе есть переменные, которых нет в делимом;
   • если в делимом и делителе есть одна и та же переменная, причём в делимом она возводится в степень $$n$$, а в делителе — в степень $$k$$ и $$n<k$$.

Ответ

График $$y=x^2$$ и $$y=-x^2$$ — парабола; ось симметрии — $$Oy$$; вершина — $$\left(0;0\right)$$; графики симметричны относительно оси абсцисс. Остальные определения и правила приведены выше.