Дополнительная задача 9 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
а) сумма квадратов переменных x, у, z;
б) квадрат суммы переменных x, у, z;
в) квадрат суммы x и у, уменьшенной на z;
г) удвоенное произведение x, у, z;
д) квадрат суммы удвоенного произведения у и z и квадрата x;
е) произведение всех попарных разностей переменных x, у, z.
Решите уравнение:
а) 3х^2 + 10x + 3 = 0; г) 4у^4 — 5у^2 +1 = 0;
б) z^5 + 8z^4 + 15z^3 = 0; д) 9t + 9 — t^2 — t^3 = 0;
в) b^4 + 4b^2 — 5 = 0; е) х^3 + 2х^2 — 4x — 8 = 0.
Составим выражения по словесному описанию:
а) сумма квадратов переменных $$x, y, z$$:
$$x^2+y^2+z^2$$
б) квадрат суммы переменных $$x, y, z$$:
$$\left(x+y+z\right)^2$$
в) квадрат суммы $$x$$ и $$y$$, уменьшенной на $$z$$:
$$\left(x+y-z\right)^2$$
г) удвоенное произведение $$x, y, z$$:
$$2xyz$$
д) квадрат суммы удвоенного произведения $$y$$ и $$z$$ и квадрата $$x$$:
$$\left(2yz+x^2\right)^2$$
е) произведение всех попарных разностей переменных $$x, y, z$$:
$$\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)$$
Решим уравнения.
а)
$$3x^2+10x+3=0$$
$$4x^2+8x+4-x^2-2x+1=0$$
$$\left(2x+2\right)^2-\left(x-1\right)^2=0$$
$$\left(2x+2\right)^2=\left(x-1\right)^2$$
$$2x+2=x-1 \quad \text{или} \quad 2x+2=-(x-1)$$
$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=-\frac13$$
б)
$$z^5+8z^4+15z^3=0$$
$$z^3\left(z^2+8z+15\right)=0$$
$$z^3\left(z^2+8z+16-1\right)=0$$
$$z^3\left(\left(z+4\right)^2-1\right)=0$$
$$z^3\left(z+3\right)\left(z+5\right)=0$$
$$z=0 \quad \text{или} \quad z=-3 \quad \text{или} \quad z=-5$$
в)
$$b^4+4b^2-5=0$$
$$b^4+4b^2+4-9=0$$
$$\left(b^2+2\right)^2-3^2=0$$
$$\left(b^2-1\right)\left(b^2+5\right)=0$$
$$b^2=1 \quad \text{или} \quad b^2=-5$$
Так как $$b^2=-5$$ не имеет действительных решений, то
$$b=\pm1$$
г)
$$4y^4-5y^2+1=0$$
$$4y^4-4y^2-y^2+1=0$$
$$4y^2\left(y^2-1\right)-\left(y^2-1\right)=0$$
$$\left(y^2-1\right)\left(4y^2-1\right)=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)=0$$
$$y=1,\; y=-1,\; y=\frac12,\; y=-\frac12$$
д)
$$9t+9-t^2-t^3=0$$
$$9\left(t+1\right)-t^2\left(t+1\right)=0$$
$$\left(t+1\right)\left(9-t^2\right)=0$$
$$\left(t+1\right)\left(3-t\right)\left(3+t\right)=0$$
$$t=-1,\; t=3,\; t=-3$$
е)
$$x^3+2x^2-4x-8=0$$
$$x^2\left(x+2\right)-4\left(x+2\right)=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x^2-4\right)=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$$
$$x=-2 \quad \text{или} \quad x=2$$
Ответ
а) $$x^2+y^2+z^2$$; б) $$\left(x+y+z\right)^2$$; в) $$\left(x+y-z\right)^2$$; г) $$2xyz$$; д) $$\left(2yz+x^2\right)^2$$; е) $$\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)$$.
а) $$x=-3,\; -\frac13$$; б) $$z=-5,\; -3,\; 0$$; в) $$b=\pm1$$; г) $$y=\pm1,\; \pm\frac12$$; д) $$t=-3,\; -1,\; 3$$; е) $$x=\pm2$$.
