Дополнительная задача 9 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) 2^(3n) = 4^(n+7); г) 4^x · (5^(2x-7))/2^7 = 1000;
б) 2^(k+13) = 32 · 8^k; д) (5^(2x-1))/4^(2x) = 7 13/16 : 16;
в) (4^x · 3^(2x))/6^3 = 216; е) (2^(2m-1))/3^(m-1) = 4 + 1/3 + (1/3)^2 + (2/3)^3.

Подробный ответ

а) $$2^{3n}=4^{n+7}$$
$$4^{n+7}=(2^2)^{n+7}=2^{2n+14}$$
Тогда
$$2^{3n}=2^{2n+14}$$
Следовательно,
$$3n=2n+14$$
$$n=14$$
б) $$2^{k+13}=32\cdot 8^k$$
$$32=2^5,\quad 8^k=(2^3)^k=2^{3k}$$
Тогда
$$2^{k+13}=2^5\cdot 2^{3k}=2^{3k+5}$$
Следовательно,
$$k+13=3k+5$$
$$8=2k$$
$$k=4$$
в) $$\dfrac{4^x\cdot 3^{2x}}{6^3}=216$$
$$4^x=(2^2)^x=2^{2x},\quad 3^{2x}=(3^2)^x$$
Удобнее записать так:
$$4^x\cdot 3^{2x}=(2^2)^x\cdot 3^{2x}=2^{2x}\cdot 3^{2x}=(2\cdot 3)^{2x}=6^{2x}$$
Тогда
$$\dfrac{6^{2x}}{6^3}=216=6^3$$
$$6^{2x-3}=6^3$$
$$2x-3=3$$
$$2x=6$$
$$x=3$$
г) $$4^x\cdot \dfrac{5^{2x-7}}{2^7}=1000$$
$$4^x=(2^2)^x=2^{2x},\quad 1000=10^3=(2\cdot 5)^3=2^3\cdot 5^3$$
Тогда
$$\dfrac{2^{2x}\cdot 5^{2x-7}}{2^7}=10^3$$
$$2^{2x-7}\cdot 5^{2x-7}=10^3$$
$$10^{2x-7}=10^3$$
$$2x-7=3$$
$$2x=10$$
$$x=5$$
д) $$\dfrac{5^{2x-1}}{4^{2x}}=7\frac{13}{16}:16$$
$$7\frac{13}{16}=\dfrac{125}{16}$$
Тогда
$$7\frac{13}{16}:16=\dfrac{125}{16}\cdot \dfrac{1}{16}=\dfrac{125}{256}$$
Заметим, что
$$\dfrac{125}{256}=\dfrac{5^3}{4^4}$$
Следовательно,
$$\dfrac{5^{2x-1}}{4^{2x}}=\dfrac{5^3}{4^4}$$
Приравниваем показатели:
$$2x-1=3,\quad 2x=4$$
$$x=2$$
е) $$\dfrac{2^{2m-1}}{3^{m-1}}=4+\dfrac13+\left(\dfrac13\right)^2+\left(\dfrac23\right)^3$$
В правой части:
$$4+\dfrac13+\dfrac19+\dfrac{8}{27}=4+\dfrac{9}{27}+\dfrac{3}{27}+\dfrac{8}{27}=4+\dfrac{20}{27}=\dfrac{128}{27}$$
Тогда
$$\dfrac{2^{2m-1}}{3^{m-1}}=\dfrac{128}{27}=\dfrac{2^7}{3^3}$$
Следовательно,
$$2m-1=7,\quad m-1=3$$
$$2m-1=7$$
$$2m=8$$
$$m=4$$