Упр.9 Вариант 2 Контрольная работа 8 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)
Постройте график функции $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}2-x, & -3\leq x<-1,\\ x^2, & -1\leq x\leq 2,\\ 4, & 2<x\leq 8.\end{cases}$$
Используя построенный график функции, установите:
а) какова область определения функции $$y=f(x)$$;
б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;
в) является ли функция непрерывной;
г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;
д) где функция возрастает, где убывает.
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} 2-x, & -3 \le x < -1,\\ x^2, & -1 \le x \le 2,\\ 4, & 2 < x \le 8. \end{cases}$$
Построим график по частям:
- на отрезке $$[-3;-1)$$ — прямая $$y=2-x$$;
- на отрезке $$[-1;2]$$ — парабола $$y=x^2$$;
- на отрезке $$(2;8]$$ — горизонтальный отрезок $$y=4$$.
Теперь ответим на вопросы.
Область определения — все значения $$x$$, при которых задана функция:
$$D(f)=[-3;8].$$
Наименьшее значение достигается в вершине параболы при $$x=0$$:
$$y_{\min}=0.$$
Наибольшее значение на первом участке при $$x=-3$$:
$$y_{\max}=5.$$
Функция не является непрерывной, так как в точке $$x=-1$$ график имеет разрыв.
Нули функции находятся из уравнения $$f(x)=0$$. На участке $$y=x^2$$ получаем:
$$x^2=0 \Rightarrow x=0.$$
Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=0$$.
Так как на остальных участках $$2-x>0$$ при $$-3 \le x < -1$$ и $$4>0$$ при $$2<x\le 8$$, то:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in[-3;0)\cup(0;8],$$
$$f(x)<0 \text{ — нет}.$$
Функция убывает на участках, где соответствующие формулы убывают:
$$f(x)\text{ убывает при } x\in[-3;-1)\text{ и }[-1;0].$$
На отрезке $$[0;2]$$ функция возрастает, а на $$(2;8]$$ — постоянна.
Ответ
а) $$[-3;8]$$;
б) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=5$$;
в) функция не является непрерывной при $$x=-1$$;
г) $$f(x)=0$$ при $$x=0$$, $$f(x)>0$$ при $$x\in[-3;0)\cup(0;8]$$, $$f(x)<0$$ — нет;
д) функция возрастает при $$x\in[0;2]$$, убывает при $$x\in[-3;-1)\cup[-1;0]$$.
